Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

A 1 [hasta 2,5 puntos]
Determina el valor máximo de la función objetivo $F(x,y)=5x+4y$ restringida por las siguientes condiciones:
$\{\begin{array}{l}2y-x\ge 0\\ y\le 2x-3\\ x+y\le 9\\ x\le 4\end{array}$

Cada restricción se dibuja sustituyendo la desigualdad por una igualdad y quedándose con el semiplano correspondiente. Conviene tener a mano las cuatro rectas.

$2y-x=0;y=2x-3;x+y=9;x=4$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos y quedarse solo con los puntos que cumplen las cuatro restricciones.

$\{\begin{array}{l}2y-x=0\\ y=2x-3\end{array}\Rightarrow x=2y\Rightarrow y=4y-3\Rightarrow y=1,x=2\Rightarrow A(2,1)$

$\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ x=4\end{array}\Rightarrow y=5\Rightarrow B(4,5)$

$\{\begin{array}{l}2y-x=0\\ x=4\end{array}\Rightarrow y=2\Rightarrow C(4,2)$

La recta $x+y=9$ pasa exactamente por $B(4,5)$, ya que $4+5=9$, y deja todo el recinto por debajo: es una restricción redundante que no aporta ningún vértice nuevo. También se descarta el corte de $2y-x=0$ con $x+y=9$, que es el punto $(6,3)$, porque incumple $x\le 4$.



La región factible es el triángulo de vértices $A(2,1)$, $B(4,5)$ y $C(4,2)$. Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en uno de ellos, así que se evalúa la función objetivo en los tres.

$\{\begin{array}{l}F(2,1)=5\cdot 2+4\cdot 1=14\\ F(4,5)=5\cdot 4+4\cdot 5=20+20=40\\ F(4,2)=5\cdot 4+4\cdot 2=20+8=28\end{array}$

El valor máximo de la función objetivo es $40$, y se alcanza en el punto $B(4,5)$.