Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.1. [hasta 2,5 puntos]
Una empresa produce dos tipos de camisas con perlas blancas, grises y rosas. Para hacer una camisa del tipo A hacen falta 20 perlas blancas, 20 grises y 30 rosas, mientras que para una camisa del tipo B se necesitan 10 perlas blancas, 20 grises y 60 rosas.
La empresa dispone de un máximo de 900 perlas blancas y 1400 grises, y decide utilizar al menos 1800 perlas rosas.
Se sabe que el beneficio que se obtiene por cada camisa del tipo A es de 60 euros, y por cada camisa del tipo B de 50 euros.

a) [2 puntos] Calcula cuántas unidades de cada tipo de camisa debe producir para obtener el máximo beneficio, así como el valor de dicho beneficio.
b) [0,5 puntos] ¿Es posible que la empresa fabrique 40 camisas del tipo A y 20 camisas del tipo B? Razona la respuesta.

Se nombran las variables de decisión y se ordenan en una tabla los datos del enunciado.

$x=\text{camisas del tipo }A,y=\text{camisas del tipo }B$

$$	$\text{Perlas blancas}$	$\text{Perlas grises}$	$\text{Perlas rosas}$	$\text{Beneficio}$ Camisa $A$	20	20	30	60 € Camisa $B$	10	20	60	50 € Disponible	máx. 900	máx. 1400	mín. 1800	$$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{camisa}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio.}}$

La función objetivo es el beneficio total. Las dos primeras restricciones son de máximo, porque no se puede gastar más perlas de las que hay, pero la de las perlas rosas es de mínimo, ya que el enunciado exige utilizar al menos $1800$.

$f(x,y)=60x+50y$

$\{\begin{array}{l}20x+10y\le 900\\ 20x+20y\le 1400\\ 30x+60y\ge 1800\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x+y\le 90\\ x+y\le 70\\ x+2y\ge 60\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

La tercera restricción, al ser de tipo mayor o igual, recorta el recinto por abajo: la región factible no llega a tocar el eje de abscisas. Sus vértices salen de cortar las rectas dos a dos, descartando los puntos que incumplen alguna restricción.

$\{\begin{array}{l}2x+y=90\\ x+y=70\end{array}\Rightarrow x=20,y=50\Rightarrow C(20,50)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=90\\ x+2y=60\end{array}\Rightarrow 3x=120\Rightarrow x=40,y=10\Rightarrow B(40,10)$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=60\end{array}\Rightarrow y=30\Rightarrow A(0,30)$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+y=70\end{array}\Rightarrow y=70\Rightarrow D(0,70)$

Los cortes con el eje de abscisas se descartan: $(45,0)$ y $(70,0)$ incumplen la restricción de las perlas rosas, y $(60,0)$ incumple la de las blancas, ya que $2\cdot 60=120>90$.



Por el teorema fundamental de la programación lineal se evalúa la función objetivo en los cuatro vértices.

$\{\begin{array}{l}f(0,30)=50\cdot 30=1500\\ f(0,70)=50\cdot 70=3500\\ f(20,50)=60\cdot 20+50\cdot 50=1200+2500=3700\\ f(40,10)=60\cdot 40+50\cdot 10=2400+500=2900\end{array}$

La empresa debe producir $20$ camisas del tipo $A$ y $50$ del tipo $B$, con lo que obtiene un beneficio máximo de $3700$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{fabrique}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{camisas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{camisas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Se comprueba si el punto $(40,20)$ cumple todas las restricciones.

$2\cdot 40+20=100>90$

La primera restricción falla, de modo que basta con esa. En perlas blancas harían falta:

$20\cdot 40+10\cdot 20=800+200=1000>900$

No es posible: esa producción necesitaría $1000$ perlas blancas y la empresa solo dispone de $900$. En el dibujo, el punto $(40,20)$ queda fuera de la región factible, por encima de la recta de las perlas blancas.