Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

A.1. [hasta 2,5 puntos]
Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x,y)=5x+4y$ en el recinto definido por las siguientes restricciones:
$\{\begin{array}{l}2x+3y\ge 6\\ 2x+y\ge 5\\ 0\le x\le 4\\ 0\le y\le 5\end{array}$

a) [1 punto] Representa el recinto mencionado.
b) [1,5 puntos] Obtén los puntos en que se alcanza el máximo y el mínimo de la función, así como los valores de ésta en dichos puntos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{mencionado.}}$

Las dos últimas restricciones son dobles y encierran el recinto en un rectángulo, mientras que las dos primeras lo recortan por abajo y por la izquierda.

$\{\begin{array}{l}2x+3y\ge 6\\ 2x+y\ge 5\\ 0\le x\le 4\\ 0\le y\le 5\end{array}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos y quedarse solo con los puntos que cumplen todas las restricciones.

$\{\begin{array}{l}2x+3y=6\\ 2x+y=5\end{array}\Rightarrow 2y=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}},x={\displaystyle \frac{9}{4}}\Rightarrow E({\displaystyle \frac{9}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$\{\begin{array}{l}y=0\\ 2x+3y=6\end{array}\Rightarrow x=3\Rightarrow A(3,0)$

Las esquinas del rectángulo $B(4,0)$, $C(4,5)$ y $D(0,5)$ también son vértices, porque cumplen las dos primeras restricciones. En cambio se descartan otros dos cortes: $(\mathrm{2,5};0)$ incumple la primera, ya que $2\cdot \mathrm{2,5}=5<6$, y $(0,2)$ incumple la segunda, ya que $0+2=2<5$.



El recinto es el pentágono de vértices $A(3,0)$, $B(4,0)$, $C(4,5)$, $D(0,5)$ y $E(\frac{9}{4},\frac{1}{2})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{puntos.}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, los extremos de una función objetivo lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanzan en sus vértices. Basta evaluarla en los cinco.

$\{\begin{array}{l}f(3,0)=5\cdot 3+4\cdot 0=15\\ f(4,0)=5\cdot 4+4\cdot 0=20\\ f(4,5)=5\cdot 4+4\cdot 5=40\\ f(0,5)=5\cdot 0+4\cdot 5=20\\ f(\frac{9}{4},\frac{1}{2})=5\cdot \frac{9}{4}+4\cdot \frac{1}{2}=\frac{45}{4}+2=\frac{53}{4}\end{array}$

${\displaystyle \frac{53}{4}}=\mathrm{13,25}$

El máximo de la función vale $40$ y se alcanza en el punto $C(4,5)$; el mínimo vale $\frac{53}{4}=\mathrm{13,25}$ y se alcanza en el punto $E(\frac{9}{4},\frac{1}{2})$.