Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B 1 [hasta 2,5 puntos]
Un guía de turismo quiere adquirir tickets de diferentes actividades para sus clientes. En concreto, quiere comprar al menos 16 tickets para acudir a un museo, 20 para realizar una visita guiada y 16 para asistir a un espectáculo.
Dos agencias disponen de ofertas para dichos tickets combinados en paquetes:
• La agencia A ofrece paquetes formados por 6 tickets para el museo, 4 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 210 € cada paquete.
• La agencia B ofrece paquetes formados por 4 tickets para el museo, 6 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 230 € cada paquete.
¿Cuántos paquetes deberá comprar el guía a cada agencia para que su coste sea mínimo? ¿A cuánto asciende dicho coste?

Se nombran las variables de decisión y se ordenan en una tabla los tickets que aporta cada paquete.

$x=\text{paquetes de la agencia }A,y=\text{paquetes de la agencia }B$

$$	$\text{Museo}$	$\text{Visita guiada}$	$\text{Espect}\acute{\text{a}}\text{culo}$	$\text{Precio}$ Paquete $A$	6	4	4	210 € Paquete $B$	4	6	4	230 € Necesita al menos	16	20	16	$$

La función objetivo es el coste total, que ahora hay que minimizar, y las tres restricciones son de tipo mayor o igual, porque el guía necesita al menos esas cantidades de tickets.

$f(x,y)=210x+230y$

$\{\begin{array}{l}6x+4y\ge 16\\ 4x+6y\ge 20\\ 4x+4y\ge 16\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x+2y\ge 8\\ 2x+3y\ge 10\\ x+y\ge 4\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Al ser todas las restricciones de mínimo, la región factible no está acotada por arriba, pero eso no impide resolver el problema: se trata de un mínimo, y este sigue alcanzándose en un vértice. Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos.

$\{\begin{array}{l}3x+2y=8\\ x+y=4\end{array}\Rightarrow x=4-y\Rightarrow 12-3y+2y=8\Rightarrow y=4,x=0\Rightarrow A(0,4)$

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+3y=10\end{array}\Rightarrow 8-2y+3y=10\Rightarrow y=2,x=2\Rightarrow B(2,2)$

$\{\begin{array}{l}y=0\\ 2x+3y=10\end{array}\Rightarrow x=5\Rightarrow C(5,0)$

Se descartan otros dos cortes por incumplir alguna restricción: $(\frac{8}{3},0)$ no llega a los $4$ paquetes que exige el espectáculo, y $(4,0)$ deja la visita guiada en $8<10$.



Se evalúa la función objetivo en los tres vértices.

$\{\begin{array}{l}f(0,4)=230\cdot 4=920\\ f(2,2)=210\cdot 2+230\cdot 2=420+460=880\\ f(5,0)=210\cdot 5=1050\end{array}$

Como comprobación, con $2$ paquetes de cada agencia el guía consigue $20$ tickets para el museo, $20$ para la visita guiada y $16$ para el espectáculo, de modo que cubre las tres exigencias.

El guía deberá comprar $2$ paquetes a la agencia $A$ y $2$ paquetes a la agencia $B$, con un coste mínimo de $880$ euros.