Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

B 2 [hasta 2,5 puntos]

a) [0,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función $y=4-x^2$.
b) [0,75 puntos] Representar gráficamente la función dada por:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}4-x^2& \text{si }-2\le x<0\\ 4-x& \text{si }0\le x\le 4\end{array}$
c) [1,25 puntos] Hallar el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas.

Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo, de modo que solo puede tener un máximo. Se confirma con las derivadas.

$y^{\mathrm{\prime }}=-2x;y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-2$

$y^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow -2x=0\Rightarrow x=0$

$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$y(0)=4$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y decrece en $(0,+\mathrm{\infty })$. Tiene un máximo relativo en el punto $(0,4)$, que es el vértice de la parábola, y no tiene mínimos.



El primer trozo es el arco de la parábola anterior entre $x=-2$ y $x=0$, y el segundo es el segmento de la recta $y=4-x$ entre $x=0$ y $x=4$. En el empalme los dos trozos valen lo mismo, de modo que la función es continua.

${\lim }_{x\to 0^{-}}(4-x^2)=4=f(0)=4-0$

$\{\begin{array}{l}y=4-x^2:\text{ de }(-2,0)\text{ a }(0,4)\\ y=4-x:\text{ de }(0,4)\text{ a }(4,0)\end{array}$





La función se anula justo en los extremos del dominio, $x=-2$ y $x=4$, y es positiva en el interior, de modo que no hacen falta valores absolutos. Como cambia de expresión en $x=0$, el área es la suma de dos integrales.

$A={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx+{\int }_0^4(4-x)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

${\int }_{-2}^0(4-x^2)dx={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^0=0-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})=8-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$

${\int }_0^4(4-x)dx={[4x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^4=16-8=8$

$A={\displaystyle \frac{16}{3}}+8={\displaystyle \frac{16+24}{3}}={\displaystyle \frac{40}{3}}$

La segunda pieza es un triángulo de base $4$ y altura $4$, cuya área es $8$, lo que confirma el resultado de la integral.

El área de la región limitada por la gráfica y el eje de abscisas es $\frac{40}{3}\approx \mathrm{13,33}$ unidades de área.