Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

B 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea la siguiente función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$.

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.
b) [0,5 puntos] Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.
c) [0,5 puntos] Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$.
d) [0,5 puntos] Obtén la primitiva de la función $f(x)$, sabiendo que en $x=0$ toma el valor 1.

Se empieza calculando la derivada, que es la herramienta del primer apartado.

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{1-x^2}{{(x^2+1)}^2}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada lo decide únicamente el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{1-4}{25}}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{1}{1}}=1>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1-4}{25}}<0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-1)& (-1,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -\\ f(x)& \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$f(-1)={\displaystyle \frac{-1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}};f(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y crece en $(-1,1)$. Tiene un mínimo relativo en $(-1,-\frac{1}{2})$ y un máximo relativo en $(1,\frac{1}{2})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Las asíntotas verticales estarían donde se anulase el denominador, así que se comprueba si eso ocurre.

$x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$

La ecuación no tiene solución real, de modo que el denominador no se anula nunca y la función no tiene asíntotas verticales. Para la horizontal se calcula el límite en el infinito, con el numerador de grado menor que el denominador.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

La función no tiene asíntotas verticales y tiene una asíntota horizontal, el eje de abscisas $y=0$.



Primero se localizan los cortes entre la curva y la recta, que son los que delimitan el recinto.

${\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow 2x=x(x^2+1)\Rightarrow x(x^2-1)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=1\end{array}$

$\text{Cortes}:(-1,-\frac{1}{2}),(0,0),(1,\frac{1}{2})$

El recinto son dos piezas simétricas respecto del origen, porque tanto la función como la recta son impares: entre $-1$ y $0$ la recta queda por encima, y entre $0$ y $1$ queda por debajo.





En el numerador está, salvo un factor $2$, la derivada del denominador, de modo que la integral es un logaritmo neperiano.

$\int {\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+1)+C$

Se impone la condición del enunciado para determinar la constante.

$F(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 1+C=0+C=1\Rightarrow C=1$

La primitiva buscada es $F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+1$.