Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea la función:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+3x^2& \text{si }x<1\\ ax+{\displaystyle \frac{2}{x}}& \text{si }x\ge 1\end{array}$

a) [0,5 puntos] Determina el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=1$.
b) [0,4 puntos] En el caso $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, determina la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=2$.
c) [1 punto] En el caso $a=2$, realiza la representación gráfica de la función; para ello, calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión cuando $x<1$.
d) [0,6 puntos] Calcula:
$\int (x^3+3x^2+{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}})dx$

Se exige que los dos límites laterales coincidan con la imagen, que la da el segundo trozo por estar definido para $x\ge 1$.

$f(1)=a\cdot 1+{\displaystyle \frac{2}{1}}=a+2$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(x^3+3x^2)=1+3=4$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a+2$

$a+2=4\Rightarrow a=2$

La función es continua en $x=1$ únicamente cuando $a=2$.



Como $2\ge 1$, se trabaja con el segundo trozo de la función.

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x}};f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$

$f(2)={\displaystyle \frac{2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{2}}=1+1=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

$y-2=0(x-2)\Rightarrow y=2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es la recta horizontal $y=2$, lo que indica además que ahí la función tiene un extremo.



En el tramo $x<1$ la función es la cúbica $x^3+3x^2$. Se calculan sus dos primeras derivadas.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6x=3x(x+2);f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x+6$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\end{array}$

Los dos puntos críticos pertenecen al tramo, ya que ambos son menores que $1$.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)=-12+6=-6<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(-2)=-8+12=4;f(0)=0$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 6x+6=0\Rightarrow x=-1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow x=-1\text{es punto de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n};f(-1)=-1+3=2$

En el tramo $x\ge 1$ la función es $2x+\frac{2}{x}$, creciente a partir de $x=1$, y con $a=2$ los dos trozos empalman en el punto $(1,4)$.

La función tiene un máximo relativo en $(-2,4)$, un mínimo relativo en $(0,0)$ y un punto de inflexión en $(-1,2)$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{integral.}}$

Se descompone en cuatro integrales inmediatas. La tercera es un logaritmo neperiano y la cuarta una potencia de exponente $-2$.

$\int (x^3+3x^2+{\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}})dx=\int x^{3}dx+3\int x^{2}dx+2\int {\displaystyle \frac{dx}{x}}-4\int x^{-2}dx$

$={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+3\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4\cdot {\displaystyle \frac{x^{-1}}{-1}}+C$

$={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3+2\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{4}{x}}+C$

El resultado es $\frac{x^4}{4}+x^3+2\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\frac{4}{x}+C$, con $C$ constante real.