Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

4. Dada la función $f(x)=\frac{6x}{x+1}-2$, se pide: Se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(0)=2$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en el intervalo $[0,\mathrm{\infty })$. Calcular el área limitada por la curva $y=f(x)$ y el eje $X$ entre $x=0$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(0)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Antes de integrar conviene deshacer la fracción, porque el grado del numerador y el del denominador coinciden:

$f(x)=\frac{6x}{x+1}-2=\frac{6(x+1)-6}{x+1}-2=6-\frac{6}{x+1}-2=4-\frac{6}{x+1}$

Escrita así, la integral es inmediata:

$F(x)=\int (4-\frac{6}{x+1})dx=4x-6\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+k$

Se impone la condición:

$F(0)=0-6\ln 1+k=k=2$

La primitiva pedida es

$F(x)=4x-6\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+2$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{adelante.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{3.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trabaja con la forma $f(x)=4-{\displaystyle \frac{6}{x+1}}$, que es una hipérbola desplazada. En el intervalo estudiado el denominador nunca se anula ($x=-1$ queda fuera), así que la función es continua.

$\mathbf{\text{Corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes:}}f(0)=-2$, y se anula cuando

$4-\frac{6}{x+1}=0⟹x+1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}⟹x=\mathrm{0,5}$

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6}{(x+1{)}^2}}>0$ para todo $x\ge 0$, luego la función es creciente en todo el intervalo y no tiene extremos relativos.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{horizontal:}}{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=4$, y como $f(x)<4$ siempre, la curva se acerca a la recta $y=4$ por debajo.



El corte en $x=\mathrm{0,5}$ parte el intervalo en dos: la curva va por debajo del eje entre 0 y 0,5, y por encima entre 0,5 y 3. Hay que integrar por separado y sumar los valores absolutos.

${\int }_0^{\mathrm{0,5}}f(x)dx=[4x-6\ln (x+1){]}_0^{\mathrm{0,5}}=2-6\ln \mathrm{1,5}\approx -\mathrm{0,433}$

${\int }_{\mathrm{0,5}}^{3}f(x)dx=[4x-6\ln (x+1){]}_{\mathrm{0,5}}^3=(12-6\ln 4)-(2-6\ln \mathrm{1,5})\approx \mathrm{4,115}$

El área pedida es la suma de las dos, cambiando de signo la primera:

$A=\mathrm{0,433}+\mathrm{4,115}=\mathrm{4,548}{\text{u}}^2$

Casi toda el área está en el segundo trozo, como se ve en el dibujo: el recinto por debajo del eje es un triángulo curvilíneo muy estrecho.