Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 4. Análisis.
Dada la función $f(x)=-4x^2+12x-5$

a) Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x=1, x=2.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{estudiando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes,}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo.}}$

Cortes con los ejes. Si $x=0$:

$f(0)=-5\Rightarrow (0,-5)$

Si $y=0$:

$-4x^2+12x-5=0\Rightarrow 4x^2-12x+5=0$

$x={\displaystyle \frac{12\pm \sqrt{144-80}}{8}}={\displaystyle \frac{12\pm 8}{8}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\mathrm{0,5}\\ x=\mathrm{2,5}\end{array}$

Monotonía y extremo relativo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-8x+12\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12}{8}}=\mathrm{1,5}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-8<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=\mathrm{1,5}$ hay un máximo relativo. La función crece en $(-\mathrm{\infty };\mathrm{1,5})$ y decrece en $(\mathrm{1,5};+\mathrm{\infty })$.

$f(\mathrm{1,5})=-4\cdot \mathrm{2,25}+18-5=4$



La gráfica es una parábola abierta hacia abajo con vértice en $(\mathrm{1,5};4)$, que corta al eje de abscisas en $(\mathrm{0,5};0)$ y $(\mathrm{2,5};0)$ y al de ordenadas en $(0,-5)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x),}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{x=1,}}\mathbf{\text{x=2.}}$

El intervalo $[1,2]$ está contenido entre los dos cortes con el eje, así que la función es positiva en él y el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_1^2(-4x^2+12x-5)dx={[-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+6x^2-5x]}_1^2$

$=(-{\displaystyle \frac{32}{3}}+24-10)-(-{\displaystyle \frac{4}{3}}+6-5)={\displaystyle \frac{10}{3}}-(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{11}{3}}$



El área del recinto es de $\frac{11}{3}\approx \mathrm{3,67}$ unidades de área.