Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

B.3. ( 2 puntos)

Dada la función real de variable real

$f(x)=e^{2x}+x$

a) Determine la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=0.$
b) Calcule

${\int }_0^{1}f(x)dx\mathrm{.}$

La recta tangente en $x=0$ es $y-f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)x$, así que calculamos el valor de la función y el de su derivada en ese punto.

$f(0)=e^0+0=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}+1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2e^0+1=3$

$y-1=3(x-0)\Rightarrow y=3x+1$

La recta tangente a la función en $x=0$ es $y=3x+1$.



Integramos cada sumando por separado y aplicamos la regla de Barrow. Para la exponencial se completa la derivada del exponente.

$\int (e^{2x}+x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int 2e^{2x}dx+\int xdx={\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

${\int }_0^1(e^{2x}+x)dx={[{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^1$

$=({\displaystyle \frac{e^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})-({\displaystyle \frac{1}{2}}+0)={\displaystyle \frac{e^2}{2}}$

El valor de la integral definida es ${\displaystyle \frac{e^2}{2}}\approx \mathrm{3,69}$.