Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=x^3-4x^2+4x$.

a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos. (1 punto)

b) Represente gráficamente la función. (0,5 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle \int f(x)dx}$. (0,5 puntos)

d) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Derivamos la función e igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-8x+4$

$3x^2-8x+4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-48}}{6}}={\displaystyle \frac{8\pm 4}{6}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x=2\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada, que factoriza como $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x-2)(x-2)$.



$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=4>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-8+4=-1<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(3)=27-24+4=7>0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{2}{3}})\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $({\displaystyle \frac{2}{3}},2)$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer, en $x=2$ hay un mínimo relativo.

$f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{8}{27}}-{\displaystyle \frac{16}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{32}{27}}\approx \mathrm{1,19}f(2)=8-16+8=0$

El máximo relativo es $({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{32}{27}})$ y el mínimo relativo es $(2,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Buscamos también los cortes con los ejes. Sacando factor común,

$x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2{)}^2$

$x(x-2{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\text{ (ra}\acute{\text{ı}}\text{z doble)}\end{array}$

La curva corta al eje de abscisas en el origen y es tangente a él en $x=2$, que es precisamente el mínimo relativo. Con esta información se dibuja la gráfica.





Integramos término a término aplicando la regla de la potencia.

$\int (x^3-4x^2+4x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2+C$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{acotado}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los cortes con el eje de abscisas son $x=0$ y $x=2$, de modo que el único recinto acotado va de $0$ a $2$. En su interior la función es positiva, pues $x>0$ y $(x-2{)}^2>0$.



$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^2(x^3-4x^2+4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2]}_0^2$

$=(4-{\displaystyle \frac{32}{3}}+8)-0={\displaystyle \frac{36-32}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El área del recinto acotado es ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$ unidades cuadradas.