Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Realice las siguientes tareas a partir de esta función. [4 puntos]

Se considera la función real de variable real definida por:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+a{x}^2-3x& \text{si }x\le 2\\ x^2-3x-4& \text{si }x>2\end{array}$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Para el valor de $a$ obtenido, halle los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. [1,5 puntos]

b) Considerando el caso $a=-2$, calcule el área de la región delimitada por esta función, el eje de abscisas OX y las rectas verticales $x=0$, $x=2$. [1,5 puntos]

c) Considerando el caso $a=0$, calcule los extremos relativos que tiene esta función en el intervalo $[-3,2]$, especificando si son máximos o mínimos. [1 punto]

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas en todo $\mathbb{R}$, de modo que el único punto donde puede fallar la continuidad es $x=2$, donde cambia la definición. Se imponen allí las tres condiciones de continuidad.

$f(2)={\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2^3+a\cdot 2^2-3\cdot 2=8+4a-6=2+4a$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=2^2-3\cdot 2-4=4-6-4=-6$

$2+4a=-6\Rightarrow 4a=-8\Rightarrow a=-2$

Con $a=-2$ la función es

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-2x^2-3x& \text{si }x\le 2\\ x^2-3x-4& \text{si }x>2\end{array}$

Se buscan ahora los cortes con los ejes. El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$, que pertenece al primer trozo.

$f(0)=0^3-2\cdot 0^2-3\cdot 0=0\Rightarrow (0,0)$

Para los cortes con el eje OX se anula cada trozo dentro de su intervalo de definición.

$x^3-2x^2-3x=0\Rightarrow x(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x(x-3)(x+1)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=3\end{array}$

Se descarta $x=3$ porque no cumple $x\le 2$, que es donde vale esa expresión.

$x^2-3x-4=0\Rightarrow (x-4)(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}$

Aquí se descarta $x=-1$ porque no cumple $x>2$.

La función es continua en todo su dominio para $a=-2$. Con ese valor, la gráfica corta al eje OY en $(0,0)$ y al eje OX en los puntos $(-1,0)$, $(0,0)$ y $(4,0)$.



Todo el intervalo $[0,2]$ queda dentro del primer trozo, así que la función que hay que integrar es $f(x)=x^3-2x^2-3x$. Antes de integrar se estudia su signo, porque si el recinto queda por debajo del eje la integral sale negativa y el área es su valor absoluto.

$f(x)=x(x-3)(x+1)$

Si $0<x<2$, entonces $x>0$, $x-3<0$ y $x+1>0$, luego el producto es negativo. Por ejemplo, $f(1)=1-2-3=-4<0$.

$A=\mid {\int }_0^2(x^3-2x^2-3x)dx\mid$

$\int (x^3-2x^2-3x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^2(x^3-2x^2-3x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}]}_0^2$

$=({\displaystyle \frac{16}{4}}-{\displaystyle \frac{16}{3}}-{\displaystyle \frac{12}{2}})-0=4-{\displaystyle \frac{16}{3}}-6=-{\displaystyle \frac{22}{3}}$

$A=\mid -{\displaystyle \frac{22}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{22}{3}}\approx \mathrm{7,33}{\text{u}}^2$

El área de la región es ${\displaystyle \frac{22}{3}}\approx \mathrm{7,33}$ unidades de área.





Todo el intervalo $[-3,2]$ está dentro del primer trozo, que con $a=0$ vale $f(x)=x^3-3x$. Se derivan y se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Los dos puntos críticos pertenecen al intervalo. Para clasificarlos se usa la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$

$f(1)=1^3-3\cdot 1=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en el punto $(-1,2)$ y un mínimo relativo en el punto $(1,-2)$.