Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Dadas las funciones $f(x)=-x^2-2x+8$ y $g(x)=2x^2-2x-4$: [2,5 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]

b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]

c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre las funciones $f$ y $g$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos son funciones polinómicas de segundo grado, continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Se deriva cada una y se anula su derivada.

$f(x)=-x^2-2x+8\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x-2=0\Rightarrow x=-1$

Como el coeficiente principal de $f$ es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo y la derivada pasa de positiva a negativa en $x=-1$.

$f\text{ crece en }(-\mathrm{\infty },-1)\text{ y decrece en }(-1,+\mathrm{\infty })$

$g(x)=2x^2-2x-4\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-2$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aquí el coeficiente principal es positivo, las ramas van hacia arriba y la derivada pasa de negativa a positiva.

$g\text{ decrece en }(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{ y crece en }({\displaystyle \frac{1}{2}},+\mathrm{\infty })$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo/m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{relativo/absoluto)}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada parábola tiene un único extremo, su vértice, y al ser el único es también absoluto.

$f(-1)=-(-1{)}^2-2(-1)+8=-1+2+8=9$

En $(-1,9)$ la función $f$ presenta un máximo, relativo y absoluto, porque las ramas de la parábola van hacia abajo.

$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-4={\displaystyle \frac{1}{2}}-1-4=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

En $({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{9}{2}})$ la función $g$ presenta un mínimo, relativo y absoluto, porque las ramas van hacia arriba.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{claramente}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan primero los cortes con los ejes de cada parábola.

$f(x)=0\Rightarrow -x^2-2x+8=0\Rightarrow x^2+2x-8=0\Rightarrow (x+4)(x-2)=0$

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array},f(0)=8$

$g(x)=0\Rightarrow 2x^2-2x-4=0\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array},g(0)=-4$

Los puntos de corte entre las dos curvas se obtienen igualándolas.

$-x^2-2x+8=2x^2-2x-4\Rightarrow 3x^2=12\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$f(-2)=-4+4+8=8,f(2)=-4-4+8=0$

Las dos parábolas se cortan en $(-2,8)$ y en $(2,0)$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{queda}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los límites de integración son las abscisas de los dos puntos de corte, $x=-2$ y $x=2$. Entre ellos hay que saber qué función va por encima; se comprueba con un punto intermedio.

$f(0)=8,g(0)=-4\Rightarrow f\text{ va por encima de }g\text{ en }(-2,2)$

$A={\int }_{-2}^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_{-2}^2(-3x^2+12)dx$

$\int (-3x^2+12)dx=-x^3+12x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[-x^3+12x]}_{-2}^2=(-8+24)-(8-24)=16+16=32$

El área de la región encerrada entre las dos parábolas es de 32 unidades de área.