Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

i) Calcule la derivada de la siguiente función: $y={\displaystyle \frac{3}{(2x-3{)}^2}}+\ln (2x^4-3)$ (3 puntos)

ii) Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle \int (\mathrm{sen}2x+e^{x\mathrm{/}5})dx}$ (3 puntos)

iii) Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{x}{2x^2+1}}dx}$ (4 puntos)

Se escribe el primer sumando como una potencia de exponente negativo para derivarlo con la regla de la cadena.

$y=3(2x-3{)}^{-2}+\ln (2x^4-3)$

${(3(2x-3{)}^{-2})}^{\mathrm{\prime }}=3\cdot (-2)(2x-3{)}^{-3}\cdot 2={\displaystyle \frac{-12}{(2x-3{)}^3}}$

Para el segundo sumando se aplica ${(\ln u)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$:

${(\ln (2x^4-3))}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{8x^3}{2x^4-3}}$

Sumando los dos resultados:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-12}{(2x-3{)}^3}}+{\displaystyle \frac{8x^3}{2x^4-3}}$



Se integra sumando a sumando, ajustando en cada uno la constante que falta.

$\int \mathrm{sen}2xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int 2\mathrm{sen}2xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x$

$\int e^{x\mathrm{/}5}dx=5\int {\displaystyle \frac{1}{5}}{e}^{x\mathrm{/}5}dx=5e^{x\mathrm{/}5}$

Sumando:

$\int (\mathrm{sen}2x+e^{x\mathrm{/}5})dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x+5e^{x\mathrm{/}5}+C$



El numerador es, salvo la constante 4, la derivada del denominador, así que la integral es de tipo logarítmico.

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(2x^2+1)=4x$

$\int {\displaystyle \frac{x}{2x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}\int {\displaystyle \frac{4x}{2x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln \mid 2x^2+1\mid$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^2{\displaystyle \frac{x}{2x^2+1}}dx={[{\displaystyle \frac{1}{4}}\ln (2x^2+1)]}_1^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln 9-{\displaystyle \frac{1}{4}}\ln 3$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln {\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln 3\approx \mathrm{0,2747}$