Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-2& \text{si }x\le 3\\ (x-4{)}^2-1& \text{si }x>3\end{array}$

Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[4,6]$, dibujando el recinto correspondiente. (1.5 puntos)

En el intervalo $[4,6]$ la función viene dada por el segundo trozo, porque todos sus puntos cumplen $x>3$:

$f(x)=(x-4{)}^2-1$

Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje de abscisas dentro del intervalo, ya que el área es la integral del valor absoluto y hay que partirla por cada corte.

$(x-4{)}^2-1=0\Rightarrow (x-4{)}^2=1\Rightarrow x-4=\pm 1\Rightarrow x=3,x=5$

Solo $x=5$ pertenece a $[4,6]$, así que el recinto se parte en $[4,5]$ y $[5,6]$. Se mira el signo de la función en cada trozo:

$f(\mathrm{4,5})=(\mathrm{4,5}-4{)}^2-1=\mathrm{0,25}-1=-\mathrm{0,75}<0$

$f(\mathrm{5,5})=(\mathrm{5,5}-4{)}^2-1=\mathrm{2,25}-1=\mathrm{1,25}>0$

El recinto es el siguiente. La parábola tiene el vértice en $(4,-1)$, corta al eje en $x=5$ y en $x=6$ vale $f(6)=(6-4{)}^2-1=3$.



Se calcula una primitiva desarrollando el cuadrado:

$\int ((x-4{)}^2-1)dx={\displaystyle \frac{(x-4{)}^3}{3}}-x+C$

Primer trozo, $[4,5]$, donde la función es negativa:

${\int }_4^5((x-4{)}^2-1)dx={[{\displaystyle \frac{(x-4{)}^3}{3}}-x]}_4^5=({\displaystyle \frac{1}{3}}-5)-(0-4)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Segundo trozo, $[5,6]$, donde la función es positiva:

${\int }_5^6((x-4{)}^2-1)dx={[{\displaystyle \frac{(x-4{)}^3}{3}}-x]}_5^6=({\displaystyle \frac{8}{3}}-6)-({\displaystyle \frac{1}{3}}-5)={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El área es la suma de los dos valores absolutos:

$A=\mid -{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid +{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}=2$

El área limitada por la función y el eje de abscisas en el intervalo $[4,6]$ es de 2 unidades cuadradas.