Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

El beneficio neto anual $B$ (en miles de euros) que las ventas de un producto generan a una empresa en función del gasto anual en publicidad $x$ (en miles de euros) viene dado por la función $B(x)=-20x^2+1200x+a$, donde $x\in [0,\mathrm{\infty })$.

a) Hallar el valor de $a$ sabiendo que un gasto en publicidad de 10000 euros proporciona un beneficio neto de 10 millones de euros.
b) Para $a=2000$, calcular el área delimitada por $B(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0,1]$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{publicidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{proporciona}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{neto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{millones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros.}}$

Hay que tener cuidado con las unidades: tanto $x$ como $B$ vienen en miles de euros. Un gasto de 10000 euros es

$x=10$

y un beneficio de 10 millones de euros es

$B=10000$

Se impone la condición:

$B(10)=-20\cdot {10}^2+1200\cdot 10+a=10000$

$-2000+12000+a=10000\Rightarrow 10000+a=10000\Rightarrow a=0$

El valor pedido es $a=0$.



Con ese valor la función es

$B(x)=-20x^2+1200x+2000$

Se comprueba primero que no corta al eje dentro del intervalo. En los extremos:

$B(0)=2000>0$

$B(1)=-20+1200+2000=3180>0$

y entre ellos la función es continua y creciente, así que es positiva en todo $[0,1]$ y el área coincide con la integral.



$A={\int }_0^1(-20x^2+1200x+2000)dx={[-{\displaystyle \frac{20x^3}{3}}+600x^2+2000x]}_0^1$

$=-{\displaystyle \frac{20}{3}}+600+2000-0=2600-{\displaystyle \frac{20}{3}}={\displaystyle \frac{7800-20}{3}}={\displaystyle \frac{7780}{3}}$

El área delimitada es de ${\displaystyle \frac{7780}{3}}\approx \mathrm{2593,33}$ unidades cuadradas.