Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

La recta $y=5-2x$ delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas. Calcula sus vértices. (0.5 puntos)

La parábola $y=x^2+2x$ divide al triángulo anterior en dos regiones. Dibújalas señalando los puntos de corte, y halla el área de ambas. (2 puntos)

Los tres vértices son los cortes de las tres rectas dos a dos: los dos ejes se cortan en el origen y cada uno corta a la recta dada en un punto.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

$y=0\Rightarrow 5-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}}\Rightarrow A({\displaystyle \frac{5}{2}},0)$

$x=0\Rightarrow y=5\Rightarrow B(0,5)$

Los vértices son $O(0,0)$, $A(\frac{5}{2},0)$ y $B(0,5)$. El triángulo es rectángulo en el origen, y su área vale

${\mathcal{A}}_T={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot 5={\displaystyle \frac{25}{4}}$



La parábola tiene las ramas hacia arriba y corta al eje de abscisas donde se anula:

$x^2+2x=0\Rightarrow x(x+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Dentro del triángulo solo interesa el corte $x=0$, que es el origen. Se buscan ahora los puntos comunes con la recta:

$x^2+2x=5-2x\Rightarrow x^2+4x-5=0$

$x={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-5\end{array}$

Se descarta $x=-5$ por caer fuera del triángulo, cuyos puntos tienen $x\ge 0$.

$x=1\Rightarrow y=1+2=3\Rightarrow P(1,3)$

La parábola entra en el triángulo por el origen y sale por $P(1,3)$, partiéndolo en dos recintos.



El recinto superior está limitado por arriba por la recta y por abajo por la parábola, entre $x=0$ y $x=1$:

${\mathcal{A}}_1={\int }_0^1[(5-2x)-(x^2+2x)]dx={\int }_0^1(5-4x-x^2)dx$

$={[5x-2x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1=5-2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

${\mathcal{A}}_1={\displaystyle \frac{8}{3}}$

El área del otro recinto se obtiene restando del área total del triángulo, que ya se conoce:

${\mathcal{A}}_2={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{75-32}{12}}={\displaystyle \frac{43}{12}}$

El recinto que queda entre la recta y la parábola mide $\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,67}$ unidades de área, y el que queda bajo la parábola y la recta, $\frac{43}{12}\approx \mathrm{3,58}$ unidades de área. La suma es $\frac{25}{4}$, el área del triángulo.