Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

En la figura se representa la gráfica $y=f(x)$, con

$f(x)=(x^2-1)(x-b)$ para cierto b entre $-1$ y 1.



¿Qué signo tienen respectivamente las integrales ${\displaystyle {\int }_{-1}^{b}f(x)dx}$ y ${\displaystyle {\int }_b^{1}f(x)dx}$? (0.25 puntos)

Sabemos que ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}}$. Halla entonces el valor de b. (2.25 puntos)

El signo de cada integral es el de la función en su intervalo, y este se obtiene estudiando el signo de los dos factores.

En $(-1,b)$ se cumple $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, luego $x^2-1<0$, y además $x<b$, luego $x-b<0$. El producto de dos factores negativos es positivo.

En $(b,1)$ sigue siendo $x^2-1<0$, pero ahora $x-b>0$, de modo que el producto es negativo.

Esto es exactamente lo que muestra la figura del enunciado: entre $-1$ y $b$ la curva va por encima del eje y entre $b$ y 1 por debajo.

${\int }_{-1}^{b}f(x)dx>0;{\int }_b^{1}f(x)dx<0$



Se desarrolla el producto para poder integrar término a término.

$f(x)=(x^2-1)(x-b)=x^3-b{x}^2-x+b$

${\int }_{-1}^1(x^3-b{x}^2-x+b)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{b{x}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+bx]}_{-1}^1$

$=({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{b}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+b)-({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{b}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-b)$

$=-{\displaystyle \frac{2b}{3}}+2b={\displaystyle \frac{4b}{3}}$

Los términos pares se cancelan, como era de esperar: $x^3$ y $-x$ son funciones impares y su integral en un intervalo simétrico es nula.

Se iguala al valor que da el enunciado y se despeja:

${\displaystyle \frac{4b}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow 4b=1\Rightarrow b={\displaystyle \frac{1}{4}}$

El valor obtenido está entre $-1$ y 1, como exigía el enunciado.

El valor del parámetro es $b={\displaystyle \frac{1}{4}}$.