Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según la función

$m(t)={\displaystyle \frac{1}{200}}{t}^3-{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

donde $m$ es la cantidad de material en kilogramos y $t$ la hora del día.

¿Cuánto material contaminante arroja en un día? Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. (1.5 puntos)

La cantidad total arrojada a lo largo del día es el área que encierra la función durante las 24 horas, es decir, la integral definida de $m(t)$ entre 0 y 24.

${\int }_0^{24}({\displaystyle \frac{1}{200}}{t}^3-{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}})dt$

Se calcula una primitiva término a término:

$\int ({\displaystyle \frac{1}{200}}{t}^3-{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}})dt={\displaystyle \frac{t^4}{800}}-{\displaystyle \frac{t^3}{30}}+{\displaystyle \frac{t^2}{4}}+{\displaystyle \frac{t}{2}}+C$

Se aplica la regla de Barrow:

${[{\displaystyle \frac{t^4}{800}}-{\displaystyle \frac{t^3}{30}}+{\displaystyle \frac{t^2}{4}}+{\displaystyle \frac{t}{2}}]}_0^{24}={\displaystyle \frac{331776}{800}}-{\displaystyle \frac{13824}{30}}+{\displaystyle \frac{576}{4}}+{\displaystyle \frac{24}{2}}-0$

$=\mathrm{414,72}-\mathrm{460,8}+144+12=\mathrm{109,92}$

En un día la fábrica arroja 109,92 kilogramos de material contaminante.

Para el crecimiento y el decrecimiento se estudia el signo de la primera derivada.

$m^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{3}{200}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{5}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3t^2-40t+100}{200}}$

$m^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 3t^2-40t+100=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{40\pm 20}{6}}$

$t={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx \mathrm{3,33}\text{y}t=10$

Estos dos puntos parten el día en tres tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$m^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{3-40+100}{200}}={\displaystyle \frac{63}{200}}>0$, la función crece.

$m^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{75-200+100}{200}}=-{\displaystyle \frac{25}{200}}<0$, la función decrece.

$m^{\mathrm{\prime }}(20)={\displaystyle \frac{1200-800+100}{200}}={\displaystyle \frac{500}{200}}>0$, la función crece.



La cantidad arrojada crece en $(0,{\displaystyle \frac{10}{3}})$ y en $(10,24)$, y decrece en $({\displaystyle \frac{10}{3}},10)$. En consecuencia hay un máximo relativo a las 3 horas y 20 minutos y un mínimo relativo a las 10 horas.