Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Dadas las funciones $f(x)=-x^2+6x$ y $g(x)=x^2-2x$: [2,5 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]

b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]

c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre $f$ y $g$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos son funciones polinómicas de segundo grado, continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Se deriva cada una y se anula su derivada.

$f(x)=-x^2+6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+6$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+6=0\Rightarrow x=3$

Como el coeficiente principal de $f$ es negativo, su parábola tiene las ramas hacia abajo y la derivada pasa de positiva a negativa en $x=3$.

$f\text{ crece en }(-\mathrm{\infty },3)\text{ y decrece en }(3,+\mathrm{\infty })$

$g(x)=x^2-2x\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-2$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x-2=0\Rightarrow x=1$

Aquí el coeficiente principal es positivo, las ramas van hacia arriba y la derivada pasa de negativa a positiva.

$g\text{ decrece en }(-\mathrm{\infty },1)\text{ y crece en }(1,+\mathrm{\infty })$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo/m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{relativo/absoluto)}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada parábola tiene un único extremo, su vértice, y al ser el único es también absoluto.

$f(3)=-3^2+6\cdot 3=-9+18=9$

En $(3,9)$ la función $f$ presenta un máximo, que es relativo y además absoluto porque las ramas de la parábola van hacia abajo.

$g(1)=1^2-2\cdot 1=1-2=-1$

En $(1,-1)$ la función $g$ presenta un mínimo, que es relativo y además absoluto porque las ramas van hacia arriba.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{claramente}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan primero los cortes con los ejes de cada parábola.

$f(x)=0\Rightarrow -x^2+6x=0\Rightarrow x(6-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=6\end{array}$

$g(x)=0\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Las dos pasan por el origen, de modo que las dos cortan al eje OY en $(0,0)$.

Los puntos de corte entre las dos curvas se obtienen igualándolas.

$-x^2+6x=x^2-2x\Rightarrow 2x^2-8x=0\Rightarrow 2x(x-4)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow f(0)=0\\ x=4\Rightarrow f(4)=-16+24=8\end{array}$

Las dos parábolas se cortan en $(0,0)$ y en $(4,8)$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{queda}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los límites de integración son las abscisas de los dos puntos de corte, $x=0$ y $x=4$. Entre ellos hay que saber qué función va por encima; se comprueba con un punto intermedio.

$f(1)=5,g(1)=-1\Rightarrow f\text{ va por encima de }g\text{ en }(0,4)$

$A={\int }_0^4[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^4(-2x^2+8x)dx$

$\int (-2x^2+8x)dx=-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+4x^2+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+4x^2]}_0^4=(-{\displaystyle \frac{128}{3}}+64)-0$

$A={\displaystyle \frac{-128+192}{3}}={\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}{\text{u}}^2$

El área de la región encerrada entre las dos parábolas es ${\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}$ unidades de área.