Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x)=(x+2)(x-3{)}^2$, realice las siguientes tareas: [4 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente $f(x)$ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas OX. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{identifique}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es polinómica, de modo que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Se desarrolla primero el producto para derivar con comodidad.

$f(x)=(x+2)(x-3{)}^2=(x+2)(x^2-6x+9)=x^3-4x^2-3x+18$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-8x-3$

Se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$3x^2-8x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+36}}{6}}={\displaystyle \frac{8\pm 10}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Se estudia el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3+8-3=8>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(4)=48-32-3=13>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{1}{3}})\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-{\displaystyle \frac{1}{3}},3)$.

En $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo; en $x=3$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo.

$f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+2){(-{\displaystyle \frac{1}{3}}-3)}^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{100}{9}}={\displaystyle \frac{500}{27}}\approx \mathrm{18,52}$

$f(3)=(3+2)(3-3{)}^2=0$

Hay un máximo relativo en $(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{500}{27}})$ y un mínimo relativo en $(3,0)$.



El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=(0+2)(0-3{)}^2=2\cdot 9=18\Rightarrow (0,18)$

Los cortes con el eje OX se obtienen anulando la función, que ya está factorizada.

$(x+2)(x-3{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\end{array}$

La raíz $x=3$ es doble, de modo que en ese punto la gráfica toca el eje sin atravesarlo: es justo el mínimo relativo del apartado anterior.

La gráfica corta al eje OY en $(0,18)$ y al eje OX en $(-2,0)$ y $(3,0)$.





El recinto que la curva encierra con el eje OX está limitado por sus dos raíces, $x=-2$ y $x=3$. Entre ellas la función es positiva, porque $(x-3{)}^2\ge 0$ siempre y $x+2>0$ en todo el intervalo, así que la integral da directamente el área.

$A={\int }_{-2}^3(x^3-4x^2-3x+18)dx$

$\int (x^3-4x^2-3x+18)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+18x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+18x]}_{-2}^3$

$=({\displaystyle \frac{81}{4}}-36-{\displaystyle \frac{27}{2}}+54)-(4+{\displaystyle \frac{32}{3}}-6-36)$

$={\displaystyle \frac{99}{4}}-(-{\displaystyle \frac{82}{3}})={\displaystyle \frac{297+328}{12}}={\displaystyle \frac{625}{12}}$

$A={\displaystyle \frac{625}{12}}\approx \mathrm{52,08}{\text{u}}^2$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{625}{12}}\approx \mathrm{52,08}$ unidades de área.