Examen de Matemáticas CCSS de Cantabria 2025 (convocatoria extraordinaria)

Dadas las matrices:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& a& 1\\ 1& 6& 5\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Estudie para qué valores del parámetro $a$ la matriz $M$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $a=1$, obtenga la matriz $X$ de la siguiente ecuación: $MX=2N$. [2 puntos]

Un pastelero dispone de un máximo de 810 minutos para producir una serie de sobaos y quesadas. Para la elaboración de cada sobao se requieren 45 minutos y 200 gramos de mantequilla, y para la elaboración de cada quesada se requieren 90 minutos y 100 gramos de mantequilla. Por limitaciones logísticas, la cantidad total de sobaos y quesadas producidas no puede exceder de 11 unidades y se dispone únicamente de 1600 gramos de mantequilla. El beneficio que se obtiene por cada sobao es de 1,5 € y el que se obtiene por cada quesada es de 2 €. La intención del pastelero es maximizar el beneficio total. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total? [0,75 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

Dada la función $f(x)=(x+2)(x-3{)}^2$, realice las siguientes tareas: [4 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente $f(x)$ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas OX. [1,5 puntos]

Se sabe que el número de viajes realizados mensualmente por los usuarios de una línea de autobuses sigue una distribución normal con desviación estándar $\sigma =5$. Para una muestra de 225 usuarios, seleccionados aleatoriamente, se obtiene una media de 21 viajes por mes. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de los viajes mensuales. [1,5 puntos]

b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97 %, sea de 1 viaje al mes. [1,5 puntos]

En una compañía de seguros de automóviles, el 17 % de los clientes tiene menos de 30 años, el 60 % tiene entre 30 y 60 años, y el resto es mayor de 60 años. El historial de partes de accidente del último año indica lo siguiente:

- entre los menores de 30 años, 3 de cada 5 no presentaron ningún parte;

- entre los clientes de 30 a 60 años, 9 de cada 10 no presentaron ningún parte;

- entre los mayores de 60 años, 3 de cada 4 no presentaron ningún parte.

Se selecciona al azar un cliente de la compañía. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]

c) Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años? [1 punto]