Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se sabe que el número de viajes realizados mensualmente por los usuarios de una línea de autobuses sigue una distribución normal con desviación estándar $\sigma =5$. Para una muestra de 225 usuarios, seleccionados aleatoriamente, se obtiene una media de 21 viajes por mes. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de los viajes mensuales. [1,5 puntos]

b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97 %, sea de 1 viaje al mes. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{mensuales.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El número de viajes mensuales sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =5$. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=225$ y $\bar{x}=21$ viajes. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,965}$.

$P(Z\le \mathrm{1,81})=\mathrm{0,9649}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{225}}}={\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$E=\mathrm{1,81}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,6033}$

$(21-\mathrm{0,6033},21+\mathrm{0,6033})=(\mathrm{20,3967},\mathrm{21,6033})$

Con un nivel de confianza del 93 %, el número medio de viajes mensuales está entre $\mathrm{20,3967}$ y $\mathrm{21,6033}$ viajes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{media,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mes.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\right)}^2$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,03}$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,985}$.

$P(Z\le \mathrm{2,17})=\mathrm{0,9850}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 5}{1}}\right)}^2={\left(\mathrm{10,85}\right)}^2=\mathrm{117,7225}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar 1 viaje, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{117,7225}\Rightarrow n=118$

El tamaño mínimo necesario de la muestra es de 118 usuarios.