Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

El precio de las lavadoras que se venden en una gran superficie es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 235 €. Para una muestra de 50 lavadoras, escogidas al azar, se obtiene un precio medio de 405 €. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de una lavadora. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del 97 % fuese de 50 €? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lavadora.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El precio sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =235$ euros. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=50$ y $\bar{x}=405$ euros. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,05}$, y la tabla da $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, porque $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,9750}$.



${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{235}{\sqrt{50}}}=\mathrm{33,234}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{33,234}=\mathrm{65,139}$

$(405-\mathrm{65,139},405+\mathrm{65,139})=(\mathrm{339,861},\mathrm{470,139})$

Con un nivel de confianza del 95 %, el precio medio de una lavadora está entre $\mathrm{339,861}$ y $\mathrm{470,139}$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{considerar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{lavadora}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{€?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\right)}^2$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,03}$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,985}$.

$P(Z\le \mathrm{2,17})=\mathrm{0,9850}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 235}{50}}\right)}^2={\left(\mathrm{10,199}\right)}^2=\mathrm{104,0196}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 50 €, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{104,0196}\Rightarrow n=105$

Habría que considerar como mínimo 105 lavadoras.