Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El tiempo que los usuarios de una compañía de telefonía móvil deben esperar para que les atiendan en el Servicio de Atención al Cliente, sigue una distribución normal con desviación típica 2 minutos. Una muestra aleatoria de 450 personas da como resultado un tiempo medio de espera de 14 minutos. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 93 % para el tiempo medio. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un tercio del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo de espera sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =2$ minutos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=450$ y $\bar{x}=14$ minutos. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,965}$.

$P(Z\le \mathrm{1,81})=\mathrm{0,9649}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{450}}}=\mathrm{0,094281}$

$E=\mathrm{1,81}\cdot \mathrm{0,094281}=\mathrm{0,1706}$

$(14-\mathrm{0,1706},14+\mathrm{0,1706})=(\mathrm{13,8294},\mathrm{14,1706})$

Con un nivel de confianza del 93 %, el tiempo medio de espera está entre $\mathrm{13,8294}$ y $\mathrm{14,1706}$ minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tercio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El error que hay que conseguir es la tercera parte del anterior.

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{E}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1706}}{3}}=\mathrm{0,056883}$

Cambia además el nivel de confianza: ahora es del 90 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,1}$ y hay que buscar el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,95}$. La tabla lo sitúa entre $\mathrm{1,64}$ y $\mathrm{1,65}$, y se toma el valor habitual $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error.

$E^{\mathrm{\prime }}=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E^{\mathrm{\prime }}}}\right)}^2$

$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,645}\cdot 2}{\mathrm{0,056883}}}\right)}^2={\left(\mathrm{57,838}\right)}^2=\mathrm{3345,26}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el valor exigido, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{3345,26}\Rightarrow n=3346$

La muestra debe tener como mínimo 3346 personas.