Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El número de horas semanales que los habitantes de determinada población dedican a la lectura de libros, sigue una distribución normal con desviación típica 2 horas. Una muestra aleatoria de 375 personas da como resultado un tiempo medio de 4 horas. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 % para el tiempo medio. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{94}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo semanal de lectura sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =2$ horas. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=375$ y $\bar{x}=4$ horas. Con un nivel de confianza del 94 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,06}$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,97}$.

$P(Z\le \mathrm{1,88})=\mathrm{0,9699}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,88}$



${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{375}}}=\mathrm{0,10328}$

$E=\mathrm{1,88}\cdot \mathrm{0,10328}=\mathrm{0,194166}$

$(4-\mathrm{0,194166},4+\mathrm{0,194166})=(\mathrm{3,8058},\mathrm{4,1942})$

Con un nivel de confianza del 94 %, el tiempo medio semanal dedicado a la lectura está entre $\mathrm{3,8058}$ y $\mathrm{4,1942}$ horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El error que hay que conseguir es la cuarta parte del anterior.

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{E}{4}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,194166}}{4}}=\mathrm{0,048541}$

Cambia además el nivel de confianza: ahora es del 90 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,1}$ y hay que buscar el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,95}$. La tabla lo sitúa entre $\mathrm{1,64}$ y $\mathrm{1,65}$, y se toma el valor habitual $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error.

$E^{\mathrm{\prime }}=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E^{\mathrm{\prime }}}}\right)}^2$

$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,645}\cdot 2}{\mathrm{0,048541}}}\right)}^2={\left(\mathrm{67,7778}\right)}^2=\mathrm{4593,75}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el valor exigido, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{4593,75}\Rightarrow n=4594$

La muestra debe tener como mínimo 4594 personas.