Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un estudio realizado en una comunidad autónoma concluyó que el tiempo de espera para una intervención de cirugía cardiaca sigue una distribución normal. A partir de una muestra de 100 pacientes operados, se calculó el siguiente intervalo de confianza al 97% para el tiempo medio (en días) de espera para la cirugía: $[28.264,31.736]$.

i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio de espera para la cirugía de la muestra de 100 pacientes. (1.25 puntos)

ii) Construya un intervalo de confianza al 91% para el tiempo medio de espera para una intervención de cirugía cardiaca. Interprete la solución en el contexto del problema. (1.25 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cirug}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{pacientes.}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

El intervalo de confianza para la media es de la forma $(\bar{x}-E,\bar{x}+E)$, así que la media muestral es su centro:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{28,264}+\mathrm{31,736}}{2}}={\displaystyle \frac{60}{2}}=30$

y el error máximo su semiamplitud:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{31,736}-\mathrm{28,264}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,472}}{2}}=\mathrm{1,736}$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,03}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,015}=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



De la expresión del error máximo se despeja la desviación típica:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{1,736}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{100}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{10}}$

$\sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{1,736}\cdot 10}{\mathrm{2,17}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{17,36}}{\mathrm{2,17}}}=8$

${\sigma }^2=8^2=64$

La varianza poblacional es de $64$ días² y el tiempo medio de espera de la muestra es de 30 días.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{91}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{intervenci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cirug}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cardiaca.}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

Se mantienen la media muestral $\bar{x}=30$, la desviación típica $\sigma =8$ y el tamaño $n=100$, y solo cambia el valor crítico.

Con un nivel de confianza del 91 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,09}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,045}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,045}=\mathrm{0,955}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,70}$



$E=\mathrm{1,70}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,70}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{1,36}$

Los extremos del intervalo son:

$30-\mathrm{1,36}=\mathrm{28,64}$

$30+\mathrm{1,36}=\mathrm{31,36}$

El intervalo de confianza al 91 % es $(\mathrm{28,64};\mathrm{31,36})$ días. Al bajar el nivel de confianza del 97 % al 91 % el intervalo se estrecha: se gana precisión a costa de una probabilidad menor de que el procedimiento atrape al parámetro. Con esa confianza se estima que el tiempo medio de espera para la intervención está entre 28,64 y 31,36 días.