Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En un centro escolar se pregunta a los estudiantes de una clase de 2º bachillerato sobre el uso de los servicios sanitarios. Dos de cada cinco hombres y tres de cada cuatro mujeres han acudido a su centro de salud durante este curso.

i) Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer de esa clase. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos haya acudido a su centro de salud. (4 puntos)

Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Sabiendo que en la clase hay 20 mujeres y 10 hombres, responda a las dos siguientes cuestiones:

ii) Calcule la probabilidad de que los tres sean hombres. (3 puntos)

iii) Calcule la probabilidad de que sólo haya una mujer. (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{independiente,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hombre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{clase.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{acudido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{salud.}}(4\text{ puntos})$

Se nombran los sucesos $H\equiv$ el hombre elegido ha acudido a su centro de salud y $M\equiv$ la mujer elegida ha acudido a su centro de salud. Del enunciado:

$P(H)={\displaystyle \frac{2}{5}};P(M)={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Se hace un diagrama de árbol.



El suceso «al menos uno» es el contrario de «ninguno de los dos», que es la única rama del árbol en la que ni él ni ella han acudido. Al ser independientes, las probabilidades se multiplican:

$P(\text{al menos uno})=1-P(\bar{H})\cdot P(\bar{M})=1-{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=1-{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{17}{20}}$

La probabilidad de que al menos uno de los dos haya acudido a su centro de salud es ${\displaystyle \frac{17}{20}}=\mathrm{0,85}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{hombres.}}(3\text{ puntos})$

Ahora se eligen tres estudiantes de la clase, que tiene 20 mujeres y 10 hombres, es decir, 30 estudiantes en total. Al no haber reemplazamiento, cada extracción modifica los totales de la siguiente.

$P(3\text{ hombres})={\displaystyle \frac{10}{30}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{29}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{28}}={\displaystyle \frac{720}{24360}}={\displaystyle \frac{6}{203}}$

La probabilidad de que los tres elegidos sean hombres es ${\displaystyle \frac{6}{203}}\approx \mathrm{0,0296}$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer.}}(3\text{ puntos})$

Que haya sólo una mujer significa que se eligen una de las 20 mujeres y dos de los 10 hombres. Como el orden no importa, se cuentan combinaciones.

$P(\text{s}\acute{\text{o}}\text{lo una mujer})={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{3}\right)}}$

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)=20;\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)={\displaystyle \frac{10\cdot 9}{2}}=45;\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{3}\right)={\displaystyle \frac{30\cdot 29\cdot 28}{6}}=4060$

$P(\text{s}\acute{\text{o}}\text{lo una mujer})={\displaystyle \frac{20\cdot 45}{4060}}={\displaystyle \frac{900}{4060}}={\displaystyle \frac{45}{203}}$

La probabilidad de que entre los tres elegidos haya sólo una mujer es ${\displaystyle \frac{45}{203}}\approx \mathrm{0,2217}$.