Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A partir de una muestra de 200 jóvenes entre 18 y 25 años, se observó que 50 no usan transporte público.

i) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan transporte público, con un nivel de confianza del 96%. Interprete la solución en el contexto del problema. (5 puntos)

ii) Calcule el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo se reduzca a la tercera parte, con un nivel de confianza del 98%. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{usan}}\mathbf{\text{transporte}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{blico,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{96}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}(5\text{ puntos})$

De los 200 jóvenes de la muestra, 50 no usan transporte público, luego lo usan $200-50=150$.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{150}{200}}=\mathrm{0,75}$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

Con un nivel de confianza del 96 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,04}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,02}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,05}$



$E=\mathrm{2,05}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}}{200}}}=\mathrm{2,05}\cdot \sqrt{\mathrm{0,0009375}}=\mathrm{2,05}\cdot \mathrm{0,0306}=\mathrm{0,0628}$

Los extremos del intervalo son:

$\mathrm{0,75}-\mathrm{0,0628}=\mathrm{0,6872}$

$\mathrm{0,75}+\mathrm{0,0628}=\mathrm{0,8128}$

El intervalo de confianza al 96 % es $(\mathrm{0,6872};\mathrm{0,8128})$. Si se repitiera muchas veces el muestreo de 200 jóvenes, el 96 % de los intervalos construidos así contendría la proporción real de jóvenes que usan transporte público, que se estima entre el 68,72 % y el 81,28 %.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{parte,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{98}}\mathbf{\text{\%.}}(5\text{ puntos})$

La amplitud del intervalo anterior es el doble de su error máximo:

$A=2E=2\cdot \mathrm{0,0628}=\mathrm{0,1255}$

Se quiere una amplitud tres veces menor:

$A^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{A}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1255}}{3}}=\mathrm{0,0418}\Rightarrow E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}}{2}}=\mathrm{0,0209}$

Con un nivel de confianza del 98 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,01}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,99}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,33}$

Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error máximo:

$E^{\mathrm{\prime }}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}}{E^{\mathrm{\prime }}}}\right)}^2\widehat{p}(1-\widehat{p})$

$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,33}}{\mathrm{0,0209}}}\right)}^2\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}={\left(\mathrm{111,48}\right)}^2\cdot \mathrm{0,1875}=\mathrm{2325,3}$

Como el tamaño muestral tiene que ser un número entero y el error no debe superar el fijado, se redondea hacia arriba.

Habría que tomar una muestra de al menos $2326$ jóvenes.