Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

i) Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80% de los jóvenes contestaron que no escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93%. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos). (5 puntos)

ii) Dado el siguiente intervalo de confianza al 97% para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, $[67.4050,82.5950]$, determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1225. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{analizar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{preferencias}}\mathbf{\text{musicales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{encuesta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{175}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes.}}\mathbf{\text{Cien}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{contestaron}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{escuchan}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{cl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sica.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escuchan}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{cl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sica,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{(Utilice}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{decimales}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculos).}}(5\text{ puntos})$

Se cuentan primero los encuestados que sí escuchan música clásica.

De los 175 adultos, 100 contestaron que no, luego $175-100=75$ adultos sí escuchan.

De los 150 jóvenes, el 80 % contestó que no, luego el 20 % sí escucha: $\mathrm{0,20}\cdot 150=30$ jóvenes.

$n=175+150=325;\widehat{p}={\displaystyle \frac{75+30}{325}}={\displaystyle \frac{105}{325}}=\mathrm{0,3231}$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,035}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,035}=\mathrm{0,965}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



$E=\mathrm{1,81}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3231}\cdot \mathrm{0,6769}}{325}}}=\mathrm{1,81}\cdot \sqrt{\mathrm{0,0007}}=\mathrm{1,81}\cdot \mathrm{0,0259}=\mathrm{0,0470}$

Los extremos del intervalo son:

$\mathrm{0,3231}-\mathrm{0,0470}=\mathrm{0,2761}$

$\mathrm{0,3231}+\mathrm{0,0470}=\mathrm{0,3701}$

El intervalo de confianza al 93 % es $(\mathrm{0,2761};\mathrm{0,3701})$. Si se repitiera muchas veces el muestreo de 325 habitantes, el 93 % de los intervalos construidos así contendría la proporción real de habitantes que escuchan música clásica, que se estima entre el 27,61 % y el 37,01 %.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Dado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bachiller}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{psicot}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnico,}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">67,4050</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">82,5950</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{utilizado,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{1225.}}(5\text{ puntos})$

El error máximo es la semiamplitud del intervalo:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{82,5950}-\mathrm{67,4050}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{15,19}}{2}}=\mathrm{7,595}$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma =\sqrt{1225}=35$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error máximo:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 35}{\mathrm{7,595}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{75,95}}{\mathrm{7,595}}}=10$

$n={10}^2=100$

El tamaño muestral utilizado fue de 100 estudiantes.