Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una encuesta realizada a jóvenes universitarios sobre hábitos de estudio se ha observado que el 40% de los encuestados consulta libros en la biblioteca, el 55% consulta videos con tutoriales y el 15% consulta ambos formatos.

i) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte alguno de los dos formatos. (3 puntos)

ii) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte solamente uno de los dos formatos. (3 puntos)

iii) Sabiendo que un universitario no consulta videos con tutoriales, calcule la probabilidad de que tampoco consulte libros. (4 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{universitario}}\mathbf{\text{consulte}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{formatos.}}(3\text{ puntos})$

Se nombran los sucesos $L\equiv$ consultar libros en la biblioteca y $V\equiv$ consultar videos con tutoriales. Del enunciado:

$P(L)=\mathrm{0,40};P(V)=\mathrm{0,55};P(L\cap V)=\mathrm{0,15}$

Consultar «alguno de los dos formatos» es la unión de los dos sucesos, que no son incompatibles porque un 15 % consulta ambos.

$P(L\cup V)=P(L)+P(V)-P(L\cap V)=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,55}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,80}$



La probabilidad de que un universitario consulte alguno de los dos formatos es $\mathrm{0,80}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{universitario}}\mathbf{\text{consulte}}\mathbf{\text{solamente}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{formatos.}}(3\text{ puntos})$

Consultar solamente uno de los dos formatos es consultar alguno de ellos pero no los dos a la vez, de modo que a la unión hay que restarle la intersección.

$P(\text{solo uno})=P(L\cup V)-P(L\cap V)=\mathrm{0,80}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,65}$

También puede verse sumando las dos zonas exclusivas del diagrama:

$P(\text{solo uno})=(\mathrm{0,40}-\mathrm{0,15})+(\mathrm{0,55}-\mathrm{0,15})=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,40}=\mathrm{0,65}$

La probabilidad de que consulte solamente uno de los dos formatos es $\mathrm{0,65}$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{universitario}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{consulta}}\mathbf{\text{videos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{tutoriales,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tampoco}}\mathbf{\text{consulte}}\mathbf{\text{libros.}}(4\text{ puntos})$

Se pide la probabilidad condicionada

$P(\bar{L}\mathrm{/}\bar{V})={\displaystyle \frac{P(\bar{L}\cap \bar{V})}{P(\bar{V})}}$

Por las leyes de De Morgan, el suceso «ni una cosa ni la otra» es el contrario de la unión:

$P(\bar{L}\cap \bar{V})=P(\overline{L\cup V})=1-P(L\cup V)=1-\mathrm{0,80}=\mathrm{0,20}$

$P(\bar{V})=1-P(V)=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$

$P(\bar{L}\mathrm{/}\bar{V})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,45}}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,4444}$

Sabiendo que no consulta videos con tutoriales, la probabilidad de que tampoco consulte libros es ${\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,4444}$.