Examen de Matemáticas CCSS de Cantabria 2020 (convocatoria extraordinaria)

Una oficina necesita adquirir material de papelería. Cuenta con un presupuesto de 600 euros y necesita archivadores, cuadernos y carpetas. Los precios de cada artículo por unidad son de 6, 3 y 2 euros respectivamente. El número de cuadernos va a ser la cuarta parte que el de carpetas y el número total de archivadores y de carpetas será de 165. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

Un inversor quiere comprar acciones de dos clases, A y B. La suma total de acciones adquiridas será como máximo de 1200. Cada acción del tipo A le reportará un beneficio de 0,2 euros y cada acción del B, uno de 0,08 euros. Tiene claro que no comprará más de 500 acciones del tipo A. Pero sí está dispuesto a adquirir como mínimo 350 del B. Además, no quiere que el número de acciones B adquiridas sea mayor del triple de acciones A. ¿Cuántas acciones debe comprar de cada tipo para obtener los máximos beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios? [2,5 puntos]

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+5}{2x^2+4x-30}}$: [1,25 puntos]

1) ¿En qué puntos es discontinua? [0,25 puntos]

2) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? [0,5 puntos]

3) Calcule los dos límites laterales en $x=3$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [0,5 puntos]

b) Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2a}{x-5}}& \text{si }x\le 2\\ x^2-5& \text{si }2<x\le 4\\ x^2+2x-b& \text{si }x>4\end{array}$, determine los valores de $a$ y $b$ para los que la función es continua en $x=2$ y en $x=4$. [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=x^3-6x^2+9x$ y $g(x)=x^2-x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [1 punto]

c) Dibuje las gráficas de ambas funciones indicando la región delimitada por ambas. [0,25 puntos]

d) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

En una población de 3510 habitantes, se conoce el número, por franjas de edades, de los que colaboran con alguna ONG. Los datos completos aparecen en la siguiente tabla:

	18-35 años	36-55 años	Mayores de 55 años	Total Colabora con alguna ONG	537	759	463	1759 No colabora con ninguna ONG	115	1034	602	1751 Total	652	1793	1065	3510

Elegido un habitante al azar: [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 18 y 35 años. [1,25 puntos]

b) Si sabemos que no colabora con ninguna ONG, ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 36 y 55 años? [1,25 puntos]

El número de horas semanales que los habitantes de determinada población dedican a la lectura de libros, sigue una distribución normal con desviación típica 2 horas. Una muestra aleatoria de 375 personas da como resultado un tiempo medio de 4 horas. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 % para el tiempo medio. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]