Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+5}{2x^2+4x-30}}$: [1,25 puntos]

1) ¿En qué puntos es discontinua? [0,25 puntos]

2) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? [0,5 puntos]

3) Calcule los dos límites laterales en $x=3$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [0,5 puntos]

b) Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2a}{x-5}}& \text{si }x\le 2\\ x^2-5& \text{si }2<x\le 4\\ x^2+2x-b& \text{si }x>4\end{array}$, determine los valores de $a$ y $b$ para los que la función es continua en $x=2$ y en $x=4$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{discontinua?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$2x^2+4x-30=0\Rightarrow x^2+2x-15=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 8}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x=-5\end{array}$

La función es discontinua en $x=3$ y en $x=-5$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{2)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{definir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{evitar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{discontinuidad?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se factorizan numerador y denominador.

$f(x)={\displaystyle \frac{x+5}{2x^2+4x-30}}={\displaystyle \frac{x+5}{2(x-3)(x+5)}}$

En $x=-5$ el factor $(x+5)$ se cancela, así que el límite existe y es finito.

${\lim }_{x\to -5}f(x)={\lim }_{x\to -5}{\displaystyle \frac{1}{2(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{2(-8)}}=-{\displaystyle \frac{1}{16}}$

La discontinuidad de $x=-5$ es evitable y sí se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto:

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\mathrm{\ne }-5\\ -{\displaystyle \frac{1}{16}}& \text{si }x=-5\end{array}$

En $x=3$ el numerador de la expresión simplificada no se anula, de modo que el límite es infinito y la discontinuidad es inevitable.



Se trabaja con la expresión simplificada, válida en todo un entorno de $x=3$.

${\lim }_{x\to 3^{-}}{\displaystyle \frac{1}{2(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 3^{+}}{\displaystyle \frac{1}{2(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Los dos límites laterales son infinitos y de signo contrario, de modo que la recta $x=3$ es una asíntota vertical: al acercarse a 3 por la izquierda la curva se desploma hacia $-\mathrm{\infty }$ y al acercarse por la derecha se dispara hacia $+\mathrm{\infty }$.





Cada trozo es continuo en el interior de su intervalo, así que basta igualar los límites laterales en los dos puntos de cambio.

En $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{2+2a}{2-5}}={\displaystyle \frac{2+2a}{-3}}$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=2^2-5=-1$

${\displaystyle \frac{2+2a}{-3}}=-1\Rightarrow 2+2a=3\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

En $x=4$:

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)=4^2-5=11$

${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)=4^2+2\cdot 4-b=24-b$

$24-b=11\Rightarrow b=13$

La función es continua en $x=2$ y en $x=4$ para $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $b=13$.