Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-4x& \text{si }x<-1\\ 4-x& \text{si }-1\le x<1\\ x^2-6x+8& \text{si }x\ge 1\end{array}$

i) Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando sus puntos de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Estudie la derivabilidad de $f(x)$. (3 puntos)

iii) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx}$. (4 puntos)

Los tres trozos son polinomios, continuos en todo su dominio, así que solo hay que estudiar los puntos de empalme $x=-1$ y $x=1$.

En $x=-1$:

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{-}}(-x^2-4x)=-1+4=3$

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{+}}(4-x)=4+1=5$

Los límites laterales existen pero son distintos, de modo que en $x=-1$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $5-3=2$.

En $x=1$:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(4-x)=3$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x^2-6x+8)=1-6+8=3$

$f(1)=1^2-6\cdot 1+8=3$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, luego la función es continua en $x=1$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{-1\}$ y presenta en $x=-1$ una discontinuidad de salto finito.



Toda función derivable en un punto es continua en él, de modo que en $x=-1$, donde la función no es continua, tampoco es derivable.

En $x=1$ la función sí es continua, así que hay que comparar las derivadas laterales. La función derivada en cada trozo es:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-2x-4& \text{si }x<-1\\ -1& \text{si }-1<x<1\\ 2x-6& \text{si }x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=-1$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=2\cdot 1-6=-4$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $x=1$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso.

La función es derivable en $\mathbb{R}-\{-1,1\}$.



El intervalo de integración contiene el punto de empalme $x=1$, así que la integral se parte en dos, una por cada trozo de la función.

${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^1(4-x)dx+{\int }_1^2(x^2-6x+8)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow en el primer sumando:

${\int }_0^1(4-x)dx={[4x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^1=4-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$

Y en el segundo:

${\int }_1^2(x^2-6x+8)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-3x^2+8x]}_1^2$

$=({\displaystyle \frac{8}{3}}-12+16)-({\displaystyle \frac{1}{3}}-3+8)={\displaystyle \frac{8}{3}}+4-{\displaystyle \frac{1}{3}}-5={\displaystyle \frac{7}{3}}-1={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Sumando los dos resultados:

${\int }_0^{2}f(x)dx={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{21+8}{6}}={\displaystyle \frac{29}{6}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{29}{6}}\approx \mathrm{4,83}$.