Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}$

i) Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando los puntos de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=1$. (4 puntos)

iii) Calcule ${\displaystyle \int f(x)dx}$. (3 puntos)

La función es un cociente de polinomios, así que es continua en todos los puntos en los que no se anula el denominador.

$x^2-4=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ y en esos dos puntos hay que estudiar el tipo de discontinuidad. En ninguno de ellos se anula el numerador, de modo que los límites laterales son infinitos.

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -2^{-}}{\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -2^{+}}{\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ y presenta en $x=-2$ y en $x=2$ sendas discontinuidades de salto infinito. Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales.



La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$.

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{1-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Se deriva aplicando la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x^2-4)-x\cdot 2x}{{(x^2-4)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-4-2x^2}{{(x^2-4)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2-4}{{(x^2-4)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-1-4}{(1-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-5}{9}}$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y+{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{5}{9}}(x-1)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{5}{9}}x+{\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{3}{9}}$

La recta tangente es $y=-{\displaystyle \frac{5}{9}}x+{\displaystyle \frac{2}{9}}$.



El numerador es, salvo la constante 2, la derivada del denominador, así que la integral es de tipo logarítmico.

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x^2-4)=2x$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 2:

$\int {\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}}dx$

Haciendo uso de ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}dx=\ln \mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }+C}$:

$\int {\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x^2-4\mid +C$