Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

i) Calcule las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+5}{x+1}}$. (5 puntos)

ii) Calcule la primitiva de la función $f(x)=(2x+1{)}^3$, sabiendo que $F(0)=9\mathrm{/}8$. (5 puntos)

Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$x+1=0\Rightarrow x=-1$

El numerador en ese punto vale $2+5=7\mathrm{\ne }0$, así que sí hay asíntota vertical.

${\lim }_{x\to -1^{-}}{\displaystyle \frac{2x^2+5}{x+1}}={\displaystyle \frac{7}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -1^{+}}{\displaystyle \frac{2x^2+5}{x+1}}={\displaystyle \frac{7}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=-1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+5}{x+1}}=\pm \mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal, pero como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador sí puede haber asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+5}{x^2+x}}=2$

$n={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}(f(x)-2x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+5-2x(x+1)}{x+1}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{5-2x}{x+1}}=-2$

La recta $y=2x-2$ es asíntota oblicua.



Se integra como una potencia, ajustando la constante 2 que es la derivada de la base.

$\int (2x+1{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int 2(2x+1{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(2x+1{)}^4}{4}}={\displaystyle \frac{(2x+1{)}^4}{8}}+C$

Se determina la constante con la condición $F(0)={\displaystyle \frac{9}{8}}$:

$F(0)={\displaystyle \frac{(2\cdot 0+1{)}^4}{8}}+C={\displaystyle \frac{1}{8}}+C={\displaystyle \frac{9}{8}}$

$C={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}=1$

La primitiva pedida es

$F(x)={\displaystyle \frac{(2x+1{)}^4}{8}}+1$