Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& x\le 2\\ -x^2+6x-8& x>2\end{array}$

i) Estudie la continuidad de la función $f(x)$. (3 puntos)

ii) Represente gráficamente la función $f(x)$. (3 puntos)

iii) Calcule el área de la región limitada por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[3,4]$. (4 puntos)

Los dos trozos son polinomios, continuos en todo su dominio, así que solo hay que estudiar el punto de empalme $x=2$.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(x^2-2x)=4-4=0$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}(-x^2+6x-8)=-4+12-8=0$

$f(2)=2^2-2\cdot 2=0$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, de modo que la función es continua en $x=2$.

La función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$.



Se estudia cada trozo por separado.

El primero, $x^2-2x$, es una parábola con las ramas hacia arriba, que corta al eje $OX$ en $x=0$ y $x=2$ y tiene el vértice en

$x=-{\displaystyle \frac{-2}{2}}=1\Rightarrow f(1)=1-2=-1\Rightarrow (1,-1)$

De esa parábola se dibuja solo el trozo con $x\le 2$.

El segundo, $-x^2+6x-8$, es una parábola con las ramas hacia abajo, que corta al eje $OX$ en $x=2$ y $x=4$ y tiene el vértice en

$x=-{\displaystyle \frac{6}{-2}}=3\Rightarrow f(3)=-9+18-8=1\Rightarrow (3,1)$

De esa parábola se dibuja solo el trozo con $x>2$. Las dos se enlazan en $(2,0)$ sin salto.





En el intervalo $[3,4]$ rige el segundo trozo, que es positivo en $(2,4)$ y se anula en $x=4$. Como la función no cambia de signo dentro del intervalo, el área es directamente la integral definida.



$A={\int }_3^4(-x^2+6x-8)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+3x^2-8x]}_3^4$

$A=(-{\displaystyle \frac{64}{3}}+48-32)-(-9+27-24)=(-{\displaystyle \frac{64}{3}}+16)-(-6)$

$A=-{\displaystyle \frac{16}{3}}+6={\displaystyle \frac{-16+18}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

El área de la región es ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,67}$ unidades de área.