Examen de Matemáticas CCSS de Navarra 2021 (convocatoria extraordinaria)

Un cajero automático contiene billetes de 10 €, 20 € y 50 €. En total hay 800 billetes con un importe de 21.000 €. El número de billetes de 10 € es igual que el número de billetes de 20 € y 50 € juntos. Calcule cuántos billetes hay de cada tipo.

i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales. (3 puntos)

ii) Resuelva el sistema por el método de Gauss. (7 puntos)

Se están considerando dos alimentos (A y B) que contienen tres nutrientes. Cada kg de A contiene 0.1 kg de grasas, 0.6 kg de hidratos de carbono y 0.3 kg de proteínas. Cada kg de B tiene 0.2 kg de grasas, 0.3 kg de hidratos de carbono y 0.5 kg de proteínas. El precio de un kg del alimento A es de 10 euros. El alimento B cuesta el triple que A. Se desea conseguir al menos 18 kg de hidratos de carbono, al menos 15 kg de proteínas y no más de 10 kg de grasas. Se desea además no comprar más de 75 kg de A. Determine cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para minimizar el coste total de la compra.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se deseara maximizar la cantidad de una vitamina, sabiendo que cada kg de A tiene 1.5 unidades y cada kg de B tiene 2 unidades de dicha vitamina. (2 puntos)

Sean las funciones $f(x)=-x^2-9x+10$ y $g(x)=2x^2-x^3$.

i) Determine, para la función $g(x)$, los puntos de corte con los ejes, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. (6 puntos)

ii) Determine el mínimo de la función $h(x)=f(x)-g(x)$. (4 puntos)

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& x\le 2\\ -x^2+6x-8& x>2\end{array}$

i) Estudie la continuidad de la función $f(x)$. (3 puntos)

ii) Represente gráficamente la función $f(x)$. (3 puntos)

iii) Calcule el área de la región limitada por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[3,4]$. (4 puntos)

En una pequeña localidad hay 25 candidatos para realizar una actividad de voluntariado, de los que el 60% son estudiantes, el 32% son jubilados y el resto trabajadores. Se seleccionan al azar tres candidatos distintos. Calcule:

i) La probabilidad de que todos ellos sean jubilados. (3 puntos)

ii) La probabilidad de que sean dos estudiantes y un trabajador. (3.5 puntos)

iii) La probabilidad de que alguno de ellos sea trabajador. (3.5 puntos)

Un estudio concluye que el tiempo que tarda un fumador en dejar de fumar se ajusta a una distribución normal. Con una muestra de 144 exfumadores, se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio (en meses) en dejar de fumar: $[9.58875,10.41125]$.

i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio en dejar de fumar para la muestra de los 144 exfumadores. (5 puntos)

ii) Construya un intervalo de confianza al 94% para el tiempo medio en dejar de fumar. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)