Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un cajero automático contiene billetes de 10 €, 20 € y 50 €. En total hay 800 billetes con un importe de 21.000 €. El número de billetes de 10 € es igual que el número de billetes de 20 € y 50 € juntos. Calcule cuántos billetes hay de cada tipo.

i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales. (3 puntos)

ii) Resuelva el sistema por el método de Gauss. (7 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}(3\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de billetes de 10 €, $y$ al de billetes de 20 € y $z$ al de billetes de 50 €.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Billetes}$	$\text{Importe (€)}$
Billetes de 10 € (x)	x	10x
Billetes de 20 € (y)	y	20y
Billetes de 50 € (z)	z	50z
Totales	x+y+z	10x+20y+50z

En total hay 800 billetes $\Rightarrow$ $x+y+z=800$.

El importe total es de 21 000 € $\Rightarrow$ $10x+20y+50z=21000$, que dividiendo entre 10 queda $x+2y+5z=2100$.

El número de billetes de 10 € es igual que el de 20 € y 50 € juntos $\Rightarrow$ $x=y+z$.

El sistema de ecuaciones lineales es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=800\\ x+2y+5z=2100\\ x-y-z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Gauss.}}(7\text{ puntos})$

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se triangula.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 800\\ 1& 2& 5& 2100\\ 1& -1& -1& 0\end{array}\right)$

Se hacen ceros en la primera columna con $F_2-F_1$ y $F_3-F_1$:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 800\\ 0& 1& 4& 1300\\ 0& -2& -2& -800\end{array}\right)$

Se hace un cero en la segunda columna con $F_3+2F_2$:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 800\\ 0& 1& 4& 1300\\ 0& 0& 6& 1800\end{array}\right)$

El sistema es compatible determinado, con solución única. Se despeja de abajo arriba.

$6z=1800\Rightarrow z=300$

$y+4\cdot 300=1300\Rightarrow y=1300-1200=100$

$x+100+300=800\Rightarrow x=400$

Se comprueba la solución: hay $400+100+300=800$ billetes, con un importe de $10\cdot 400+20\cdot 100+50\cdot 300=4000+2000+15000=21000$ euros, y los de 10 € son tantos como los de 20 € y 50 € juntos, $100+300=400$.

El cajero contiene 400 billetes de 10 €, 100 billetes de 20 € y 300 billetes de 50 €.