Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ x+by+2z=4\\ 3x+y+bz=5\end{array}$

Si $a=3$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $b$. (1.5 puntos)

Con $a=3$ el sistema queda

$\{\begin{array}{l}3x+2y+z=1\\ x+by+2z=4\\ 3x+y+bz=5\end{array}$

Se clasifica por el teorema de Rouché-Frobenius. La matriz de coeficientes es

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& b& 2\\ 3& 1& b\end{array}\right)$

Se calcula su determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3\mid \begin{array}{cc}b& 2\\ 1& b\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 3& b\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}1& b\\ 3& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3(b^2-2)-2(b-6)+(1-3b)=3b^2-6-2b+12+1-3b$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3b^2-5b+7$

Se iguala a cero para buscar los valores que anulan el determinante:

$3b^2-5b+7=0\Rightarrow b={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-84}}{6}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{-59}}{6}}$

El discriminante es negativo,

$\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 7=25-84=-59<0$

de modo que la ecuación no tiene solución real y el determinante no se anula para ningún valor de $b$. Además, como el coeficiente principal es positivo, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3b^2-5b+7>0$ siempre.

Por tanto $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, cualquiera que sea $b$.

Con $a=3$ el sistema es compatible determinado para todo valor real del parámetro $b$: siempre tiene solución y es única.