Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x-y+az=3\\ x+5y-2az=1\\ 3x+2y-z=1\end{array}$

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.
b) Resolver el sistema para $a=-1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Clasificar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 1& 5& -2a\\ 3& 2& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& a& 3\\ 1& 5& -2a& 1\\ 3& 2& -1& 1\end{array}\right)$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}5& -2a\\ 2& -1\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& -2a\\ 3& -1\end{array}\mid +a\mid \begin{array}{cc}1& 5\\ 3& 2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-5+4a)+(-1+6a)+a(2-15)=-5+4a-1+6a-13a=-3a-6$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -3a-6=0\Rightarrow a=-2$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }-2$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=-2$.

Las matrices quedan

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ 1& 5& 4\\ 3& 2& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -2& 3\\ 1& 5& 4& 1\\ 3& 2& -1& 1\end{array}\right)$

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 5\end{array}\mid =5+1=6\mathrm{\ne }0$

y como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 1& 5& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\mid =1(5-2)+1(1-3)+3(2-15)=3-2-39=-38\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }-2$ el sistema es compatible determinado y para $a=-2$ es incompatible. No hay ningún valor de $a$ que lo haga indeterminado.



Con $a=-1$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3-6=-3\mathrm{\ne }0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x-y-z=3\\ x+5y+2z=1\\ 3x+2y-z=1\end{array}$

Se resta la primera ecuación de la segunda:

$6y+3z=-2$

Se resta la primera multiplicada por 3 de la tercera:

$(3x+2y-z)-3(x-y-z)=1-9\Rightarrow 5y+2z=-8$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera, $z={\displaystyle \frac{-2-6y}{3}}$, y sustituyendo:

$5y+2\cdot {\displaystyle \frac{-2-6y}{3}}=-8\Rightarrow 15y-4-12y=-24\Rightarrow 3y=-20$

$y=-{\displaystyle \frac{20}{3}}$

$z={\displaystyle \frac{-2-6(-{\displaystyle \frac{20}{3}})}{3}}={\displaystyle \frac{-2+40}{3}}={\displaystyle \frac{38}{3}}$

$x=3+y+z=3-{\displaystyle \frac{20}{3}}+{\displaystyle \frac{38}{3}}=3+6=9$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$9+5(-{\displaystyle \frac{20}{3}})+2\cdot {\displaystyle \frac{38}{3}}=9-{\displaystyle \frac{100}{3}}+{\displaystyle \frac{76}{3}}=9-8=1$

La solución es $x=9$, $y=-{\displaystyle \frac{20}{3}}$ y $z={\displaystyle \frac{38}{3}}$.