Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y+az=1\\ 5x+3y+3z=2\\ x+y-z=1\end{array}$

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.
b) Resolver el sistema para $a=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Clasificar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& a\\ 5& 3& 3\\ 1& 1& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& a& 1\\ 5& 3& 3& 2\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right)$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3\mid \begin{array}{cc}3& 3\\ 1& -1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}5& 3\\ 1& -1\end{array}\mid +a\mid \begin{array}{cc}5& 3\\ 1& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3(-3-3)-2(-5-3)+a(5-3)=-18+16+2a=2a-2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 2a-2=0\Rightarrow a=1$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }1$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=1$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 3\end{array}\mid =9-10=-1\mathrm{\ne }0$

y como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 5& 3& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =3(3-2)-2(5-2)+(5-3)=3-6+2=-1\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }1$ el sistema es compatible determinado y para $a=1$ es incompatible.



Con $a=0$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2\mathrm{\ne }0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\{\begin{array}{l}3x+2y=1\\ 5x+3y+3z=2\\ x+y-z=1\end{array}$

De la primera ecuación se despeja $y$:

$y={\displaystyle \frac{1-3x}{2}}$

De la tercera se despeja $z$ y se sustituye ese valor:

$z=x+y-1=x+{\displaystyle \frac{1-3x}{2}}-1={\displaystyle \frac{2x+1-3x-2}{2}}={\displaystyle \frac{-x-1}{2}}$

Se lleva todo a la segunda ecuación y se multiplica por 2:

$5x+3\cdot {\displaystyle \frac{1-3x}{2}}+3\cdot {\displaystyle \frac{-x-1}{2}}=2$

$10x+3-9x-3x-3=4\Rightarrow -2x=4\Rightarrow x=-2$

Se deshace el camino:

$y={\displaystyle \frac{1+6}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}};z={\displaystyle \frac{2-1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$5(-2)+3\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}+3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=-10+{\displaystyle \frac{21}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-10+12=2$

La solución es $x=-2$, $y={\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{3,5}$ y $z={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$.