Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x-2y+z=1\\ x+y-az=1\\ x+2y-2z=-2\end{array}$

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.
b) Resolver el sistema para $a=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Clasificar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 1& -a\\ 1& 2& -2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 1& 1& -a& 1\\ 1& 2& -2& -2\end{array}\right)$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& -a\\ 2& -2\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}1& -a\\ 1& -2\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-2+2a)+2(-2+a)+(2-1)=-2+2a-4+2a+1=4a-5$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 4a-5=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{5}{4}}$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a={\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\mid =1+2=3\mathrm{\ne }0$

y como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\mid =1(-2-2)+2(-2-1)+(2-1)=-4-6+1=-9\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{4}}$ el sistema es compatible determinado y para $a={\displaystyle \frac{5}{4}}$ es incompatible.



Con $a=1$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4-5=-1\mathrm{\ne }0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x-2y+z=1\\ x+y-z=1\\ x+2y-2z=-2\end{array}$

Se suman las dos primeras ecuaciones, con lo que desaparece $z$:

$2x-y=2\Rightarrow y=2x-2$

De la segunda ecuación se despeja $z$ y se sustituye $y$:

$z=x+y-1=x+(2x-2)-1=3x-3$

Se lleva todo a la tercera ecuación:

$x+2(2x-2)-2(3x-3)=-2\Rightarrow x+4x-4-6x+6=-2\Rightarrow -x+2=-2$

$x=4$

Se deshace el camino:

$y=2\cdot 4-2=6;z=3\cdot 4-3=9$

Se comprueba en la primera ecuación:

$4-12+9=1$

La solución es $x=4$, $y=6$ y $z=9$.