Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=0\\ -3x+2y-5z=2\\ x+2y-az=-1\end{array}$

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$. (hasta 2 puntos)
b) Resolver el sistema para $a=-2$. (hasta 1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Clasificar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}(\text{hasta }2\text{ puntos})$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -3& 2& -5\\ 1& 2& -a\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ -3& 2& -5& 2\\ 1& 2& -a& -1\end{array}\right)$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}2& -5\\ 2& -a\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& -a\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}-3& 2\\ 1& 2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-2a+10)-2(3a+5)+(-6-2)=-2a+10-6a-10-8=-8a-8$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -8a-8=0\Rightarrow a=-1$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }-1$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=-1$.

Las matrices quedan

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -3& 2& -5\\ 1& 2& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ -3& 2& -5& 2\\ 1& 2& 1& -1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila de $A$ son iguales, así que $\text{rg}(A)=2$; en efecto, hay un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 2\end{array}\mid =2+6=8\mathrm{\ne }0$

Pero en la ampliada esas dos filas tienen distinto término independiente, 0 y $-1$: la misma expresión $x+2y+z$ no puede valer a la vez 0 y $-1$. Formalmente,

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -3& 2& 2\\ 1& 2& -1\end{array}\mid =1(-2-4)-2(3-2)+0=-6-2=-8\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }-1$ el sistema es compatible determinado y para $a=-1$ es incompatible.



Con $a=-2$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=16-8=8\mathrm{\ne }0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=0\\ -3x+2y-5z=2\\ x+2y+2z=-1\end{array}$

Se resta la primera ecuación de la tercera, con lo que desaparecen $x$ e $y$:

$(x+2y+2z)-(x+2y+z)=-1-0\Rightarrow z=-1$

Se lleva ese valor a la primera y a la segunda:

$x+2y-1=0\Rightarrow x+2y=1$

$-3x+2y+5=2\Rightarrow -3x+2y=-3$

Se resta la segunda de la primera:

$4x=4\Rightarrow x=1$

$1+2y=1\Rightarrow y=0$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$-3\cdot 1+2\cdot 0-5(-1)=-3+5=2$

La solución es $x=1$, $y=0$ y $z=-1$.