Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B y C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40 % de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos. (2 puntos)

Se llama $x$ a lo que ha costado el electrodoméstico A, $y$ a lo que ha costado B y $z$ a lo que ha costado C, los tres en euros.

Se traduce a ecuaciones cada una de las tres condiciones del enunciado.

Por los tres electrodomésticos se han pagado 1000 euros en total:

$x+y+z=1000$

Lo que ha costado A es el 40 % de lo gastado en C:

$x=\mathrm{0,4}z$

La suma de lo gastado en B y en C cuadruplica lo pagado por A:

$y+z=4x$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1000\\ x-\mathrm{0,4}z=0\\ -4x+y+z=0\end{array}$

Conviene empezar por la tercera, porque $y+z$ aparece entero en la primera. Sustituyendo $y+z=4x$ en $x+y+z=1000$:

$x+4x=1000\Rightarrow 5x=1000\Rightarrow x=200$

De la segunda ecuación se despeja el precio de C:

$200=\mathrm{0,4}z\Rightarrow z={\displaystyle \frac{200}{\mathrm{0,4}}}=500$

Y de la primera se obtiene el de B:

$y=1000-x-z=1000-200-500=300$

Se comprueba la solución en las tres condiciones: $200+300+500=1000$; $\mathrm{0,4}\cdot 500=200$; $300+500=800=4\cdot 200$.

El electrodoméstico A ha costado 200 euros, el B 300 euros y el C 500 euros.