Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

¿Para qué valores de a tiene soluciones el siguiente sistema? (0.75 puntos)

$\{\begin{array}{l}x+y+2z=12\\ 2x-y-z=12\\ 2x+2y+az=12\end{array}$

Resuelve el sistema en el caso $a=0$. (1.25 puntos)

Si para una valor a el sistema es incompatible, y sustituimos los términos independientes $(12,12,12)$ por $(12,12,24)$, ¿cómo clasificaríamos el sistema resultante? (0.5 puntos)

$\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema?}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se estudia el sistema con el teorema de Rouché-Frobenius. Lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes, que se desarrolla por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& -1\\ 2& 2& a\end{array}\mid =1(-a+2)-1(2a+2)+2(4+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a+2-2a-2+12=12-3a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=4$

Si $a\mathrm{\ne }4$ el determinante no es nulo, los rangos valen 3 y el sistema es compatible determinado.

Queda por ver qué ocurre en $a=4$. Ahí la tercera fila de la matriz de coeficientes es el doble de la primera:

$2\cdot (1,1,2)=(2,2,4)$

pero el término independiente no sigue esa proporción, porque $2\cdot 12=24\mathrm{\ne }12$. Las dos ecuaciones correspondientes,

$\{\begin{array}{l}x+y+2z=12\\ 2x+2y+4z=12\end{array}$

son contradictorias, de modo que el sistema es incompatible.

El sistema tiene soluciones para todo valor real de $a$ salvo $a=4$, y en todos esos casos la solución es única.



Para $a=0$ el determinante vale $12\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. La tercera ecuación queda especialmente simple:

$2x+2y=12\Rightarrow x+y=6$

Se lleva a la primera, que contiene también $x+y$:

$6+2z=12\Rightarrow z=3$

Y con ese valor, la segunda ecuación se reduce a un sistema de dos incógnitas:

$2x-y-3=12\Rightarrow 2x-y=15$

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 2x-y=15\end{array}\Rightarrow 3x=21\Rightarrow x=7\Rightarrow y=-1$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $7-1+6=12$; $14+1-3=12$; $14-2=12$.

La solución para $a=0$ es $x=7$, $y=-1$, $z=3$.

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{incompatible,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sustituimos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{independientes}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">12</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">12</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">12</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{por}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">12</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">12</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">24</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{clasificar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{resultante?}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El único valor que hace incompatible el sistema es $a=4$, y lo que fallaba era precisamente el término independiente de la tercera ecuación. Con el nuevo vector, la tercera fila de la matriz ampliada pasa a ser el doble exacto de la primera:

$2\cdot (1,1,2\mid 12)=(2,2,4\mid 24)$

La tercera ecuación es entonces redundante y se puede eliminar. Quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema resultante es compatible indeterminado, con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.