Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

De los bebés que se han inscrito en el mes de mayo en el registro civil de Logroño, 63 tienen de nombre Alba, Lucía, Pedro o Mateo. 48 de ellos tienen tienen los nombres de Alba, Pedro o Mateo. Sabemos que el número de bebés inscritos con el nombre de Pedro es igual a la suma de los inscritos con los nombres de Alba y Mateo; además se han inscrito tantos bebés con el nombre de Alba como la suma de la mitad de los inscritos con el nombre de Pedro más los inscritos con el nombre de Mateo.

i) ¿Cuántos de estos bebés se llaman Alba?, ¿cuántos Pedro?, ¿cuántos Mateo? (2 puntos)
ii) ¿Cuántos bebés se llaman Lucía? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{beb}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llaman}}\mathbf{\text{Alba?,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{Pedro?,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{Mateo?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se llama $a$ al número de bebés inscritos con el nombre de Alba, $l$ a los de Lucía, $p$ a los de Pedro y $m$ a los de Mateo. Cada frase del enunciado es una ecuación.

$a+l+p+m=63$

$a+p+m=48$

$p=a+m$

$a={\displaystyle \frac{p}{2}}+m$

Las dos últimas relacionan solo $a$, $p$ y $m$, así que conviene empezar por ellas. Sustituyendo la tercera en la cuarta:

$a={\displaystyle \frac{a+m}{2}}+m\Rightarrow 2a=a+m+2m\Rightarrow a=3m$

$p=a+m=3m+m=4m$

Se llevan las dos a la segunda ecuación:

$3m+4m+m=48\Rightarrow 8m=48\Rightarrow m=6$

$a=3\cdot 6=18;p=4\cdot 6=24$

Se comprueban las condiciones: $18+24+6=48$; $24=18+6$; $18=12+6$.

Se llaman Alba 18 bebés, Pedro 24 y Mateo 6.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{beb}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llaman}}\mathbf{\text{Luc}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta restar de la primera ecuación lo que dice la segunda:

$l=63-(a+p+m)=63-48=15$

Se llaman Lucía 15 bebés.