Examen de Matemáticas CCSS de La Rioja 2020 (convocatoria extraordinaria)

De los bebés que se han inscrito en el mes de mayo en el registro civil de Logroño, 63 tienen de nombre Alba, Lucía, Pedro o Mateo. 48 de ellos tienen tienen los nombres de Alba, Pedro o Mateo. Sabemos que el número de bebés inscritos con el nombre de Pedro es igual a la suma de los inscritos con los nombres de Alba y Mateo; además se han inscrito tantos bebés con el nombre de Alba como la suma de la mitad de los inscritos con el nombre de Pedro más los inscritos con el nombre de Mateo.

i) ¿Cuántos de estos bebés se llaman Alba?, ¿cuántos Pedro?, ¿cuántos Mateo? (2 puntos)
ii) ¿Cuántos bebés se llaman Lucía? (0,5 puntos)

Si $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$:

i) Calcula $A^2$ y $A^3$. (0,5 puntos)
ii) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, calcula $A^{15}$ y $A^{30}$. (1 punto)
iii) Resuelve la ecuación matricial $AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. (1 punto)

Julián dispone de 10 hectáreas de terreno para cultivar dos variedades de uva: tempranillo y viura. El beneficio que le produce una hectárea de tempranillo es de 2 mil euros y la de viura 3 mil euros. Dispone de 180 kg de productos fitosanitarios; una hectárea de tempranillo precisa de 10 kg de estos productos y una hectárea de viura 20. Vendimiar una hectárea de tempranillo le cuesta 20 horas y una de viura 10 horas; dispone de un total de 160 horas de trabajo de vendimiadores.

i) ¿Cómo puede distribuir Julián el cultivo de sus 10 hectáreas respetando sus restricciones? Dibuja en el plano la región factible que represente los posibles repartos. (1,25 puntos)
ii) Escribe la función que representa el beneficio que obtiene Julián. ¿Con qué distribución obtiene el máximo beneficio? Calcula dicho máximo. (1,25 puntos)

Sea la función

$f(t)=\{\begin{array}{ll}2t^2,& 0\le t<1\\ 3t-1,& 1\le t<2\\ -5t+15,& 2\le t\le 3\end{array}$

i) Estudia razonadamente su continuidad. (0,75 puntos)
ii) Haz una representación gráfica de la función f. (1 punto)
iii) Si la función f representa la asistencia (en miles de personas) a un festival de música en función del tiempo t (medido en horas), ¿en qué momento la asistencia fue máxima? (Para qué valor de t). ¿Cuántas personas había en el festival en ese momento? (0,75 puntos)

Sea la función $f(x)=a{x}^2+bx+c$.

i) Determina a, b y c sabiendo que el punto $(-2,1)$ pertenece a la gráfica de la función f y que, además, el punto $(-1,0)$ es un extremo relativo de f. (1,25 puntos)
ii) Determina el área que encierra la gráfica de f y el eje OX en el intervalo $[0,3]$. (1,25 puntos)

NOTA: si no has conseguido determinar a, b y c en el apartado anterior, toma $a=1$, $b=2$ y $c=1$ en este segundo apartado.

La producción de un invernadero depende de la temperatura a la que esté regulado. La cantidad de toneladas de verduras que produce viene dada por la siguiente función, en la que x indica la temperatura en grados Celsius:

$f(x)=(x+3{)}^2(36-x)(0\le x\le 36)$

i) ¿Para qué valor de x se obtiene la máxima producción? (1,5 puntos)
ii) ¿Cuántas toneladas se obtienen a esa temperatura? (0,5 puntos)
iii) ¿Para qué valores de x el invernadero no produce nada? (0,5 puntos)

En una residencia canina hay en total 120 perros; de ellos 40 son pastores alemanes (35 negros y 5 blancos), 30 pekineses (18 negros y 12 blancos) y 50 mastines (42 negros y 8 blancos).

i) Hemos elegido un perro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea pekinés? (0,75 puntos)
ii) Elegido al azar un perro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco? (0,75 puntos)
iii) Se ha elegido al azar un perro que ha resultado ser blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea un mastín? (1 punto)

La vida media de un modelo de grapadoras sigue una distribución normal con una desviación típica de 60 días.

i) Si la media fuese de 950 días, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de una muestra de 100 grapadoras superase los 959 días? (1,25 puntos)
ii) Si una muestra de 64 grapadoras tiene una vida media de 980 días, determina un intervalo de confianza del 90 % para la media de la producción. (1,25 puntos)

Luis ha hecho una cartulina con cada una de las siete letras de LA RIOJA y las ha introducido en una urna.

i) Si extrae una cartulina, ¿cuál es probabilidad de que sea la R?, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea la A? (0,5 puntos)
ii) Luis extrae una cartulina y, a continuación, sin volver a introducir la primera, saca otra y se las muestra en ese orden a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María vea LA? (0,5 puntos)
iii) Luis repite la operación y le vuelve a mostrar las cartas a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María pueda formar la palabra LA?, ¿y de que pueda formar la palabra LO? (0,75 puntos)
iv) Luis extrae ahora tres cartulinas sin reemplazar después de cada extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que María lea RIO si se las muestra en el orden en el que Luis las ha extraído? ¿Y de que lea RIA? (0,75 puntos)