Examen de Matemáticas CCSS de La Rioja 2026 (convocatoria extraordinaria)

Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80 % de los alumnos de cierta universidad está suscrito a una plataforma musical, el 60 % lo está a una de vídeo y, además, el 90 % tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide: (1 punto)

a) Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.
b) Si está suscrito a una plataforma de vídeo, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.

El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos. Se pide: (2 puntos)

a) Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97 % para estimar $\mu$.
b) Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.

En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para fabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 euros y por cada una de B, 120 euros. Se pide:

a) Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería. (0,5 puntos)
b) Representa la región factible S. (0,5 puntos)
c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S. (0,5 puntos)
d) Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos. (0,5 puntos)

Dada la matriz $M=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& -a\end{array}\right)$, siendo a un número real, se pide:

a) Calcula el valor de a para que se cumpla $M^2=I$. Para ese valor de a, calcula la matriz inversa de M y halla $M^{21}$. (1 punto)
b) Para $a=1$: calcula una matriz X que verifique la igualdad $M\cdot X+M^T=2I$. (1 punto)

I representa la matriz identidad de orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de M.

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 0& 4& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de A. (0,75 puntos)
b) Calcula una matriz X que verifique la igualdad $X\cdot A=B^T+I$. (1,25 puntos)

$B^T$ es la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función

$C(x)={\displaystyle \frac{ax}{x^2+4}},x>0$

siendo a un número real y x el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

a) Calcula el valor de a sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }C(x)}$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y $C(x)$. (0,75 puntos)
b) Para $a=1$: calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo. (1,25 puntos)
c) Calcula el valor de a para que se verifique la igualdad ${\displaystyle {\int }_1^2(x^2+4)C(x)dx=6}$. (1 punto)

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}$, siendo a y b números reales, se pide:

a) Calcula los valores de a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto $P=(1,3)$ y que la recta tangente a esta curva en P es paralela a la recta de ecuación $y=-5x+2$. (1 punto)
b) Para $b=4$, calcula el valor de a para que la función posea un extremo relativo en $x=2$. Para este valor de a, indica si en $x=2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo. (1 punto)
c) Para $a=2$, calcula el valor de b para que se verifique la igualdad ${\displaystyle {\int }_1^3{x}^{4}f(x)dx=12}$. (1 punto)