Examen de Matemáticas CCSS de La Rioja 2022 (convocatoria extraordinaria)

Usamos una balanza de brazos muy sensible para pesar tres tipos de piezas (A, B y C) comparando su peso con el de una barrita que sabemos que pesa 13 gramos. Todas las piezas de un mismo tipo pesan igual. Descubrimos que:

i) La barrita pesa lo mismo que una pieza C y dos piezas B juntas;
ii) tres piezas A pesan lo mismo que dos piezas B;
iii) una pieza C pesa lo mismo que dos piezas A y una pieza B.

¿Cuánto pesan las piezas de cada tipo? (1.75 puntos)

Si la relación (iii) hubiera sido que una pieza B pesa como dos piezas A y una pieza C, al resolver el problema nos daríamos cuenta de que alguna relación debería ser falsa. ¿Por qué? (0.75 puntos)

Una matriz cuadrada A se dice idempotente si $A^2=A$.

i) Estudia si hay matrices idempotentes $2\times 2$ que sean de la forma $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ a& b\end{array}\right)$ o de la forma $\left(\begin{array}{cc}2& b\\ a& 1\end{array}\right)$. En cada caso debes indicar, si la respuesta es afirmativa, el valor de a y b. (2 puntos)
ii) Si una matriz A es idempotente, calcula su potencia $A^{2022}$. (0.5 puntos)

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x,y)$ que cumplen (1 punto)

$0\le y,0\le x,$
$x+y\le 6,$
$2x+y\le 10,\text{y}$
$x+2y\le 10.$

Averigua el valor máximo que alcanza en dicha región la función dada por $f(x,y)=4x+3y$. (1 punto)

Si dicho valor máximo se alcanza en un punto $(x_0,y_0)$, ¿sabrías expresar una función cuyo máximo lo alcance en $(y_0,x_0)$? (0.5 puntos)

Consideramos la función f dada (en los valores reales x donde la expresión tiene sentido) por

$f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}}\mathrm{.}$

i) ¿Cuál es el dominio de dicha función? (0.3 puntos)
ii) Calcula la derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. ¿En qué puntos x es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1$? ¿En cuáles es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$? ¿Tiene f extremos relativos? (1.1 puntos)
iii) Dibuja la gráfica de f, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales. (1.1 puntos)

Encuentra los valores de a y b que hacen que la función dada por

$f(x)=x^3-a{x}^2-bx+1$

cumpla las dos propiedades siguientes: (1.75 puntos)

i) Su derivada vale lo mismo en $x=0$ y en $x=1$.
ii) Tiene un extremo relativo en $x=-1$.

¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica $y=f(x)$ en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene f en $-1$? (0.75 puntos)

El diseño del nuevo logo de Climbing Sports se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }0\le x<1,\\ 2x+a& \text{si }1\le x<2,\\ b(x-3{)}^2& \text{si }2\le x\le 3.\end{array}$



i) Calcula los valores de a y b. (1 punto)
ii) El material de la parte más oscura elevará el coste de producción de las prendas de la marca. ¿Cuánto vale el área de dicha parte? (1.5 puntos)

Un amigo meteorólogo nos ha facilitado algunas probabilidades de lluvia en la mañana del próximo sábado, concretamente para los siguientes sucesos:

A = «hay lluvia entre las 8 y las 9»;
B = «hay lluvia entre las 8 y las 10»;
C = «hay lluvia entre las 10 y las 14».

Nos ha dicho que $P(A)=0.4$, $P(B)=0.5$ y $P(C)=0.7$. A nosotros nos interesa sobre todo la probabilidad de D = «hay lluvia entre las 9 y las 10». No nos la ha dado, pero nos ha dicho que $P(A\cap D)=0.35$.

i) ¿Cómo interpretarías $P(B)-P(A)$? Calcula entonces el valor de $P(D)$. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva de 9 a 10? (1.5 puntos)
ii) Nos dice además que B y C son independientes, porque estará despejado entre las 10 y las 12. Calcula entonces la probabilidad de que llueva durante la mañana (entre las 8 y las 14). (1 punto)

Al 40 % de la población española no le gusta el vino. En España, de cada 1000 personas 7 son riojanas, pero entre quienes gustan del vino la proporción de personas riojanas es 1/120.

Escogemos una persona española al azar y resulta que es riojana. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el vino? (2.5 puntos)

En los poblados maruba utilizan el punde como medida de distancia, y toman lo largo de una valla para fijar su valor. Este es distinto en cada poblado. Queremos estimar el valor medio de los distintos pundes en metros, considerando que la distribución es normal con desviación típica de 4 metros y que las medidas en todos los poblados son independientes entre sí. A partir de una muestra de 25 pundes calculamos un intervalo de confianza para situar dicho valor medio, y resulta el intervalo $(74.864,77.496)$.

i) ¿Cuál es el valor promedio de nuestra muestra? (0.5 puntos)
ii) ¿Con qué nivel de confianza hemos obtenido el intervalo? (1.5 puntos)
iii) ¿Cuántos pundes necesitaríamos medir para reducir el error muestral a la mitad, con el mismo nivel de confianza? (0.5 puntos)